Eigenwertanalyse-Algorithmen
Die Eigenwertanalyse-Algorithmen werden in der Eigenwert (MUSIC, EV)-Spektralprozedur verwendet. Diese Algorithmen bieten eine Frequenzschätzung mit hoher Auflösung.
Eigenwertzerlegung
Die Prozeduren beginnen mit einer Eigenwertzerlegung einer Daten- bzw. Trajektorienmatrix mittels Singulärwertzerlegung (SVD = Singular Value Decomposition). Die Datenmatrizen können auf Vorwärts-Prädiktion (F), Rückwärts-Prädiktion (R) oder Vorwärts-Rückwärts-Prädiktion (VR) basieren. Die VR-Prozeduren sind bei der Schätzung der Frequenzen von Spektralkomponenten im Allgemeinen genauer.
MUSIC- und EigenVector-Algorithmus
Nach erfolgter Eigenwertzerlegung können eine Vielzahl von Spektralschätzern auf Basis der Eigenvektoren und Eigenwerte konstruiert werden.
Die Algorithmen MUSIC (Multiple Signal Classification) und EV (Eigenvector) sind zwei der am häufigsten verwendeten Schätzer. Diese Schätzer basieren auf dem Prinzip, dass die Eigenvektoren des Rauschen-Unterraums orthogonal zu den Signalvektoren sind. Die MUSIC und EV Frequenzschätzer sind kontinuierliche reziproke Funktionen der Frequenz, die Summen von Produkten der Rauschen-Eigenvektoren im Nenner haben. Die Signaleigenvektoren werden nicht verwendet. Die Peaks erscheinen weil der Nenner an den entsprechenden Frequenzen gegen Null geht, was zu überaus scharfen spektralen Peaks führt.
Der einzige Unterschied zwischen beiden Algorithmen ist eine Gewichtsfunktion. Der EV-Algorithmus gewichtet jeden Eigenvektor des Rauschen-Unterraums mit dem Kehrwert seines Eigenwertes während die MUSIC-Prozedur eine konstante Gewichtung verwendet. Die Gewichtung mit dem Kehrwert kann zu einem geringfügig stabileren Algorithmus führen obgleich die Unterschiede zwischen den beiden Algorithmen im Allgemeinen klein sind. Es ist wichtiger, eine effektive Signal-Rauschen-Schwelle vorzugeben.
Die Peaks im Spektrum werden lokalisiert, indem zunächst ein Spektrum mit 8193 gleichverteilten Frequenzen durchsucht wird, welches aus einer 16384-Punkte FFT stammt. Diese Peaks werden dann mittels eines eindimensionalen Optimierungsverfahrens mit hoher Genauigkeit justiert. Diese genaue Ermittlung der Frequenzen ist möglich, da die Schätzer kontinuierliche Funktionen der Frequenz sind. Die Peak-Anzahl ist gleich der Hälfte des Signal-Unterraum-Wertes.
Die traditionellen Implementierungen dieser Algorithmen identifizieren die Frequenzen ausschließlich aus den lokalen Maxima des ausgegebenen Spektrums. Es existieren auch Varianten der Algorithmen, bei denen vorwiegend die Frequenzerfassung verbessert wurde. Die MUSIC und EV Algorithmen von FlexPro bieten diese Frequenzschätzung mit voller Präzision automatisch.
FlexPro's Implementierung der MUSIC und EV Prozeduren sind Erweiterungen der im Buch von Marple (p.377) präsentierten Algorithmen.
Literatur
Eine gute Darstellung der Eigenwertanalyse-Spektralalgorithmen finden Sie in:
•S. Lawrence Marple, Jr., "Digital Spectral Analysis with Applications", Prentice-Hall, 1987, p.361-378.
•Steven M. Kay, "Modern Spectral Estimation", Prentice Hall, 1988, p.429-434.
Siehe auch
Analyseobjekt Spektralschätzer - Eigenwertanalyse-Spektralschätzer