Führt eine Lebensdaueranalyse auf Basis der zweiparametrischen Weibull-Verteilung durch. Eingabe für die Lebensdaueranalyse sind eine oder mehrere Stichproben mit Objektlebensdauern. Eine Stichprobe besteht ausschließlich aus den ausgefallenen Objekten mit entsprechenden Ausfallzeiten in der Y-Komponente des Datensatzes. Wenn Sie mehrere Stichproben auswerten, liefert das Objekt eine Liste mit einem Ergebnis pro Stichprobe.
Parameter
Die Anzahl rechts zensierter Daten gibt an, wie viele Objekte bis zum Ende der Messung noch nicht ausgefallen waren (und insbesondere also nicht in der Stichprobe enthalten sind). Sie können diesen Wert als Parameter NumberOfRightCensoredValues direkt im Stichprobendatensatz ablegen. FlexPro verwendet diesen dann bei der Lebensdaueranalyse und ignoriert den Wert auf der Registerkarte Optionen. Sie sollten dies insbesondere dann in Betracht ziehen, wenn Sie mehrere Stichproben auswerten möchten. Im Objekt kann nämlich nur eine Anzahl angegeben werden, dei dann für alle Stichproben verwendet wird.
Als Algorithmus stehen Ihnen der Least-Squares-Algorithmus und der Maximum-Likelihood-Algorithmus zur Auswahl. Für den Maximum-Likelihood-Algorithmus können Sie einen von der Stichprobengröße abhängigen Korrekturfaktor anwenden. Hintergrund: Ein Nachteil der Maximum-Likelihood-Parameterschätzung ist deren Verzerrung (Bias) bei kleinem Stichprobenumfang. Zur Korrektur dieses Nachteils können entsprechende Korrekturfaktoren (abhängig von der Stichprobengröße) berücksichtigt werden.
Die Maximum-Likelihood-Kurvenanpassung der zweiparametrischen Weibull-Verteilung wird numerisch durch Nullstellensuche gelöst. Letztere ist hierbei mittels Fixpunktiteration implementiert. Die Maximalanzahl Iterationen gibt hierfür die maximale Anzahl der durchzuführenden Iterationen an. Die Fixpunktiteration wird ansonsten beendet, wenn die relative Wertänderung kleiner als die angegebene Toleranz ist.
Ergebnis
Sie können folgende Ergebnisse auswählen:
Ergebnis |
Beschreibung |
|---|---|
Weibull-Verteilung |
Die Weibull-Verteilung schätzt als Kurve über der Zeit, welcher Anteil von Objekten zu einem Zeitpunkt ausgefallen sein wird. |
Lebensdauerfunktion |
Die Lebensdauerfunktion schätzt als Kurve über der Zeit, welcher Anteil von Objekten zu einem Zeitpunkt noch funktionsfähig sein wird. (Entspricht 1 - Weibull-Verteilung) |
Ausfallrate |
Dies ist der Quotient aus der Dichtefunktion der Weibull-Verteilung und der Lebensdauerfunktion. |
Kumulative Ausfallrate |
Das Integral der Ausfallrate. |
Empirische Verteilung |
Die empirische Verteilung der Stichprobe. |
Empirische Lebensdauerfunktion (Empirical Survival Function) |
Entspricht 1 - Empirische Verteilung. |
Statistik |
Eine Liste mit den ermittelten Parametern der Weibull-Verteilung und weiteren statistischen Kenngrößen. |
Die Häufigkeiten der Verteilungen können Sie las relative Häufgkeiten auf Eins normiert, als prozentuale Häufigkeiten oder als absolute Häufigkeiten, bezogen auf die Größe der Grundgesamtheit incl. zensierter Werte ausgeben.
Hier die Statistik im Einzelnen:
Ergebnis |
Beschreibung |
|---|---|
α |
Er ermittelte Parameter Alpha der Weibull-Verteilung. |
β |
Er ermittelte Parameter Beta der Weibull-Verteilung. |
T |
Die charakteristische Lebensdauer der Verteilung. Bei einer Weibull-Verteilung ist die charakteristische Lebensdauer der Zeitpunkt, zu dem 63,2 % der Grundgesamtheit ausgefallen sein dürften. Dieser Parameter wird auch Skalenparameter genannt. |
λ |
Der Parameter Lambda der Weibull-Verteilung. Dies ist der Kehrwert von T. Lambda wird auch Formparameter genannt. |
μ |
Der Erwartungswert der Lebensdauer. |
σ² |
Die Varianz der Lebensdauer. |
σ |
Die Standardabweichung der Lebensdauer. |
Wenn Sie mehrere Ergebnisse markieren, liefert die Lebensdaueranalyse eine Liste.
Abtastung
Um die Ergebnisse Weibull-Verteilung und Lebensdauerfunktion numerisch zu berechnen, wird die ermittelte Verteilungsfunktion abgetastet. Aus Datensatz beziehen entnimmt die X-Komponente der zu berechnenden Verteilung aus dem angegebenen Datensatz. Berechnen erzeugt anhand der Parameter Startwert, Endwert und Werteanzahl eine Datenreihe mit linear aufsteigenden Werten für die X-Komponente der zu berechnenden Verteilung. Für Endwert können Sie Automatisch wählen. Dieser wird dann aus dem ermittelten Parameter T abgeleitet als 5 * T.
Darstellungen (Nur im Analyseassistent)
Das Überlebensdiagramm zeigt die empirische Überlebensfunktion der Stichprobe über der durch Weibull-Anpassung ermittelten Überlebensfunktion an.
Das Weibull-Diagramm zeigt die empirische Verteilungsfunktion der Stichprobe über der durch Weibull-Anpassung ermittelten Weibull-Verteilung an. Die Weibull-Verteilung wird hier linearisiert dargestellt. Dies erfolgt über die Transformation Ln(-Ln(1 - Y)), Ln(X).
Statistik-Tabelle (Nur im Analyseassistent)
Die Option Zusätzliche tabellarische Auswertungen auf der dritten Seite des Analyseassistenten erstellt eine Tabelle mit den oben angegebenen statistischen Parametern.
Literatur
•Hartung, Joachim: Statistik, 9. Auflage. Oldenbourg Verlag GmbH, München, 1993. ISBN 3-486-22055-1.
•Wilker, Holger: Weibull-Statistik in der Praxis, 2. Auflage. Books on Demand GmbH, Norderstedt, 2010. ISBN 3-8391-6241-5.
•T. Kernane and Z. A. Raizah: Fixed point iteration for estimating the parameters of extreme value distributions. In: Communications in Statistics - Simulation and Computation, Taylor and Francis, Vol. 38, No. 10, Pages 2161-2170. Prentice Hall, 2009.