Effectue un ajustement de courbe à l'aide de la distribution biparamétrique de Weibull (analyse de durée de vie).
Syntaxe
WeibullFit(Sample, le [ NumberOfRightCensoredValues Variable 0 ], le [ Algorithm Variable WEIBULLFIT_ALGORITHM_LSE ], le [ MLECorrectionFactor Variable TRUE ], le [ MLEMaximumNumberOfIterations Variable 500n ] [ , le MLETolerance Variable 1e-6 ])
La syntaxe de la fonction WeibullFit se compose des éléments suivants :
Section |
Description |
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Sample |
L'échantillon à partir duquel une analyse de durée de vie doit être effectuée par ajustement de courbe par la distribution biparamétrique de Weibull. L'échantillon se compose uniquement des objets défaillants avec des temps d'arrêt correspondants dans la composante Y de l'ensemble de données. Les structures de données autorisées sont Série de données et Signal. Tous les types de données réels sont autorisés. Si l'argument est une liste, alors la fonction est exécutée pour chaque élément de la liste et le résultat est également une liste. |
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NumberOfRightCensoredValues |
Nombre de sujets qui ne sont pas encore tombés en panne à la fin de la mesure (et qui, en particulier, ne sont donc pas inclus dans l'échantillon). Les structures de données autorisées sont Scalaire. Les types de données pris en charge sont Entier de 16 bits, le Entier de 32 bits et Entier de 64 bits. La valeur doit être supérieure ou égale à 0. Si l'argument est une liste, alors la fonction est exécutée pour chaque élément de la liste et le résultat est également une liste. Si l'argument n'est pas spécifié, il est défini à la valeur par défaut 0 . |
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Algorithm |
Indique l'algorithme à utiliser pour l'ajustement de la courbe par la distribution biparamétrique de Weibull. L'argument Algorithm peut avoir les valeurs suivantes :
Si l'argument est une liste, alors son premier élément est pris. S'il s'agit à nouveau d'une liste, le processus est répété. Si l'argument n'est pas spécifié, il est défini à la valeur par défaut WEIBULLFIT_ALGORITHM_LSE . |
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MLECorrectionFactor |
Indique si un facteur de correction doit être pris en compte en cas d'ajustement de la courbe du maximum de vraisemblance. Contexte : l'un des inconvénients de l'estimation des paramètres par maximum de vraisemblance est le biais qu'elle entraîne lorsque la taille de l'échantillon est petite. Pour corriger cet inconvénient, des facteurs de correction appropriés (dépendant de la taille de l'échantillon) peuvent être pris en compte. L'argument n'est donc utilisé que si l'algorithme choisi est l'estimation du paramètre de maximum de vraisemblance. Les structures de données autorisées sont Scalaire. Les types de données pris en charge sont Valeur booléenne. Si l'argument est une liste, alors son premier élément est pris. S'il s'agit à nouveau d'une liste, le processus est répété. Si l'argument n'est pas spécifié, il est défini à la valeur par défaut TRUE . |
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MLEMaximumNumberOfIterations |
L'ajustement de la courbe du maximum de vraisemblance de la distribution de Weibull à deux paramètres est résolu numériquement par recherche de zéros. Cette dernière est implémentée ici au moyen d'une itération à points fixes. L'argument indique le nombre maximal d'itérations à effectuer. L'argument n'est donc utilisé que si l'algorithme choisi est l'estimation du paramètre de maximum de vraisemblance. Les structures de données autorisées sont Scalaire. Les types de données pris en charge sont Entier de 16 bits, le Entier de 32 bits et Entier de 64 bits. La valeur doit être supérieure ou égale à 1. Si l'argument est une liste, alors son premier élément est pris. S'il s'agit à nouveau d'une liste, le processus est répété. Si l'argument n'est pas spécifié, il est défini à la valeur par défaut 500n . |
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MLETolerance |
La titration du point fixe pour la détermination des paramètres de l'ajustement de la courbe du maximum de vraisemblance s'arrête lorsque le changement de valeur relative est inférieur au delta indiqué. L'argument n'est donc utilisé que si l'algorithme choisi est l'estimation du paramètre de maximum de vraisemblance. Les structures de données autorisées sont Scalaire. Les types de données pris en charge sont Virgule flottante de 64 bits. Si l'argument est une liste, alors son premier élément est pris. S'il s'agit à nouveau d'une liste, le processus est répété. Si l'argument n'est pas spécifié, il est défini à la valeur par défaut 1e-6 . |
Remarques
Le résultat de l'ajustement de la courbe est une liste des paramètres ajustés α et β de la distribution biparamétrique de Weibull. La densité de probabilité continue f(x) et la fonction de répartition F(x) de la distribution de Weibull avec les paramètres α et β (paramètres de forme) sont ici données par
Remarque : dans la littérature, la durée de vie caractéristique T est souvent utilisée comme alternative au paramètre α (et β est désigné par k). La relation suivante s'applique :
Les résultats de la liste (c.-à-d. les paramètres trouvés pour l'ajustement de la courbe) sont accessibles à l'aide de la syntaxe suivante : result.alpha ou result.beta. A l'aide de la fonction Distribution on peut ensuite renvoyer la distribution (ou un tracé de survie) de la distribution de Weibull ajustée (distribution des durées de vie).
Les algorithmes d'ajustement de la courbe de Weibull peuvent être décrits schématiquement comme suit :
Algorithme des moindres carrés
Si l'on trace la distribution d'une variable aléatoire selon une loi de Weibull sous la forme log(log(1/(1-F(x)))) = β*log(x) + log(α) dans un graphique doublement logarithmique (réseau de Weibull), on obtient une droite de pente β et de segment d'axe y log(α). C'est exactement ce principe qui est maintenant utilisé pour l'ajustement de la courbe de Weibull des moindres carrés. La fonction de distribution empirique F_emp sert d'estimateur pour la distribution de l'échantillon (avec la formule de Hazen comme mode de calcul selon la fonction EmpiricalDistribution). Ensuite, la pente et la section de l'axe y de log(log(1/(1-F_emp))) sont déterminées par le calcul de régression linéaire. Cela fournit finalement des estimateurs pour les paramètres β et log(α), et donc aussi pour α.
Pour plus de détails, voir [1, chapitre 13, section 3.2.1] ou [2, chapitre 5, section 5.1.2.2].
Algorithme du maximum de vraisemblance
Cet algorithme est basé sur le principe habituel du maximum de vraisemblance, selon lequel (pour simplifier) les paramètres α et β sont sélectionnés comme estimation, selon la distribution desquels la réalisation des données observées semble la plus plausible. Cela peut être formulé de manière mathématiquement équivalente sous la forme d'un problème de maximisation, selon lequel les paramètres doivent être choisis de manière à ce que la fonction dite de log-vraisemblance soit maximale. Les points extrêmes de la fonction de log-vraisemblance correspondent à leur tour aux points zéro de la dérivée de la fonction de log-vraisemblance selon les paramètres α et β. Dans le cas présent de la distribution de Weibull à deux paramètres, cette dernière détermination de zéro ne possède pas de solution analytique fermée, mais peut être déterminée de manière itérative à l'aide de solveurs d'équations numériques. Dans ce cas, une itération à point fixe est utilisée comme solution numérique de l'équation. Les itérations des points fixes s'arrête lorsque la variation relative de la valeur des paramètres est inférieure au delta indiqué (voir l'argument MLETolerance). Le nombre maximal d'itérations est défini par l'argument MLEMaximumNumberOfIterations. Si le nombre maximal d'itérations a été atteint et que la variation relative de la valeur n'est pas encore passée en dessous de la valeur de tolérance indiquée, il n'y a pas de convergence de l'algorithme et un message d'erreur correspondant est émis.
L'un des inconvénients de l'estimation du paramètre du maximum de vraisemblance est le biais qu'elle entraîne lorsque la taille de l'échantillon est petite. Pour corriger cet inconvénient, des facteurs de correction appropriés (dépendant de la taille de l'échantillon) peuvent être pris en compte (voir argument MLECorrectionFactor).
Tous les détails se trouvent dans [2, chapitre 5, section 5.1.2.3] ainsi que [3].
Disponible dans
Option Statistiques
Exemples
WeibullFit(Sample)
Effectue un ajustement de courbe des moindres carrés à l'aide de la distribution de Weibull biparamétrique d'un échantillon et fournit les paramètres α et β trouvés sous forme de liste. L'échantillon contient uniquement les objets en panne avec les temps d'arrêt correspondants dans la composante Y. Les objets en panne ne sont pas inclus dans l'échantillon.
Dim p = WeibullFit(Sample)
Dim x = Series(0, 5*Maximum(Sample), 0.1)
Signal(Distribution(x, DISTRIBUTION_WEIBULL, p.alpha, p.beta), x)
Effectue un ajustement de la courbe de Weibull d'un échantillon et calcule la distribution de Weibull ajustée (distribution de durée de vie) dans l'intervalle [0, 5*maximum(échantillon)].
Dim p = WeibullFit(Sample)
Dim x = Series(0, 5*Maximum(Sample), 0.1)
Signal(1 - Distribution(x, DISTRIBUTION_WEIBULL, p.alpha, p.beta), x)
Effectue un ajustement de la courbe de Weibull d'un échantillon et calcule le tracé de survie résultant dans l'intervalle [0, 5*maximum(échantillon)].
WeibullFit(Sample, 7)
Comme extension au premier exemple, l'échantillon est maintenant complété par 7 unités supplémentaires qui n'ont pas encore échoué à la fin de la mesure. La durée de vie de ces 7 éprouvettes supplémentaires est donc supérieure au maximum de tous les temps de défaillance dans la composante Y de l'échantillon.
WeibullFit(Sample, , WEIBULLFIT_ALGORITHM_MLE)
Effectue un ajustement de courbe du maximum de vraisemblance à l'aide de la distribution de Weibull biparamétrique d'un échantillon et fournit les paramètres α et β trouvés sous forme de liste. L'échantillon contient uniquement les objets en panne avec les temps d'arrêt correspondants dans la composante Y. Les objets en panne ne sont pas inclus dans l'échantillon.
Voir aussi
Fonction EmpiricalDistribution
Littérature
[1] Hartung, Joachim: Statistik, 9. Auflage. Oldenbourg Verlag GmbH, München, 1993. ISBN 3-486-22055-1.
[2] Wilker, Holger: Weibull-Statistik in der Praxis, 2. Auflage. Books on Demand GmbH, Norderstedt, 2010. ISBN 3-8391-6241-5.
[3] T. Kernane and Z. A. Raizah: Fixed point iteration for estimating the parameters of extreme value distributions. Dans: Communications in Statistics - Simulation and Computation, Taylor and Francis, Vol. 38, No. 10, Pages 2161-2170. Prentice Hall, 2009.