Espectro cruzado y periodograma cruzado
El espectro cruzado y el periodograma cruzado miden la potencia espectral conjunta de dos señales.
El cálculo se realiza mediante la multiplicación compleja por elementos de la primera serie de Fourier por la segunda serie de Fourier conjugada. La normalización se basa en el valor recíproco de la longitud del conjunto de datos:
Si se calcula la multiplicación de compleyos conjugados, se obtiene:
(Re{Fx}, Im{Fx}) * (Im{Fx}, Im{Fy}) = (Re{Fx} * Re{Fy} + Im{Fx} * Im{Fy}, Im{Fx} * Re{Fy} + Re{Fx} * Im{Fy})
La parte real del resultado contiene los componentes espectrales en fase y la parte imaginaria contiene los componentes espectrales ortogonales.
La parte real también se puede escribir como:
Re{Fx} * Re{Fy} + Im{Fx} * Im{Fy} = |Fx| * |Fy| * cos(jxy), con el ángulo de fase jxy entre Fx y Fy.
Todos los formatos espectrales reales solo utilizan la parte real. Si se utilizan estos formatos espectrales para dos conjuntos de datos idénticos, entonces el espectro cruzado y el periodograma cruzado proporcionan los mismos espectros que el espectro de Fourier o el periodograma para un conjunto de datos.
El orden de x e y solo influye en la parte imaginaria del espectro. El espectro cruzado de x e y es igual al espectro cruzado conjugado complejo de x e y.
Coherencia
Si dos señales proceden de una misma fuente, el análisis de coherenciaproporciona una medida de la similitud o dependencia lineal de una señal con respecto a la otra. La medida de coherencia más utilizada es la coherencia de magnitud al cuadrado "magnitude squared coherence" (MSC):
La evolución de la coherencia varía en el rango de 0 a 1. Una coherencia de 0 para una frecuencia determinada indica que las señales no comparten componentes en dicha frecuencia. Un valor de coherencia de 1 para una frecuencia determinada significa que el contenido espectral de ambas señales es idéntico en esa frecuencia. La coherencia entre las señales x e y corresponde a la coherencia entre las señales y y x.
Espectros de relación señal-ruido
Si el ruido asociado a dos señales procedentes de una fuente común no está correlacionado, como suele ocurrir con el ruido de fondo blanco, la relación señal-ruido (Signal-to-Noise-Ratio - SNR) puede calcularse de la siguiente manera:
La relación señal-ruido, al igual que la coherencia, es independiente del orden de X e Y.
Función de transferencia
La señal de salida de un sistema lineal está vinculada a su señal de entrada a través de la función de transferencia, que puede calcularse a partir del espectro de densidad de potencia de la señal de entrada y del espectro cruzado entre las señales de entrada y salida:
Bibliografía
•Oppenheim, A. V. and Schafer, R. W. (1989). Discrete-Time Signal Processing. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ.