El algoritmo Prony se utiliza para determinar los componentes senoidales amortiguados de una señal.
Para datos reales, la aproximación de funciones exponenciales complejas corresponde a la aproximación de funciones seno amortiguadas. Se consigue una aproximación de los componentes espectrales no amortiguados fijando los factores de amortiguación en el valor 0. El algoritmo implementado se ha modificado en varias ocasiones para mejorar su comportamiento con señales ruidosas.
Los algoritmos Prony son procesos de varias etapas:
1.Aproximación de un modelo AR (AutoRegressive)
2.Determinación de las raíces complejas del modelo AR
3.Filtrado de las raíces
4.Aproximación de las amplitudes complejas mediante el método de los mínimos cuadrados
5.Creación del modelo final con separación señal-ruido (signal thresholding)
Modelo exponencial complejo
Un modelo Prony de orden m consiste en la suma de funciones exponenciales complejas z, que se multiplican por una amplitud compleja h.
En las ecuaciones para h y z, A es la amplitud de la función exponencial, g es el factor de amortiguación, u es la frecuencia y q es la fase. FlexPro emite las amplitudes complejas y las funciones exponenciales como funciones senoidales reales y amortiguadas:
A es la amplitud de salida, k es el factor de atenuación, u es la frecuencia y q es la fase. Tenga en cuenta que el modelo con k=0 se reduce a un modelo senoidal no amortiguado y para u=0 y q=p/2 a un modelo exponencial de primer orden.
Raíces del polinomio AR
Un modelo complejo-exponencial consta de los parámetros de las amplitudes complejas y las funciones exponenciales. Primero se estiman las frecuencias y los coeficientes de amortiguación (los parámetros de las funciones exponenciales). Estos valores se derivan de las raíces complejas del modelo AR aproximado. Si se utiliza el modelo AR hacia adelante (forward prediction) para el caso amortiguado, las raíces complejas del polinomio AR corresponden a los parámetros exponenciales del modelo Prony. Estas raíces complejas no solo llevan las frecuencias, sino también los factores de amortiguación exponenciales. Se utiliza el algoritmo AR correspondiente.
Algoritmos de descomposición en valores singulares (SVD)
Los algoritmos SVD separan la señal del ruido y, por tanto, suelen generar frecuencias y valores de atenuación más precisos, ya que se excluye la influencia del ruido.
Como en las aproximaciones AR, el número de modos propios del subespacio de señal debe corresponder al doble del número de componentes esperados.
Selección de raíces
Para estabilizar el algoritmo Prony, FlexPro filtra las raíces en un paso intermedio. Este proceso se realiza automáticamente. Se eliminan las raíces negativas y las que están cerca del límite de Nyquist. El algoritmo Prony puede reconocer oscilaciones senoidales, oscilaciones senoidales amortiguadas y funciones exponenciales reales. Si una raíz AR se encuentra en la frecuencia 0, la función es una función exponencial real. Si se encuentra en el círculo unitario, indica una oscilación senoidal no amortiguada. En otros casos, se trata de oscilaciones senoidales amortiguadas. Esto se deduce directamente de las raíces del polinomio AR y no se puede modificar.
Tenga en cuenta que las funciones exponenciales reales se filtran y, por lo tanto, ya no aparecen en el modelo final Prony.
Aproximación de las amplitudes complejas
Una vez identificadas las raíces, las estimaciones iniciales de las amplitudes complejas del modelo se determinan mediante regresión lineal. A partir de ellos se obtienen las amplitudes y las fases.
Separación de señal y ruido
Dado que el método Prony es un modelo determinista para aproximar funciones exponenciales complejas, la señal puede reducirse en cualquier momento eliminando los componentes menos significativos y volviendo a calcular el modelo con un número menor de componentes. Por tanto, el modelo final Prony solo contiene los componentes con mayor significación, cuyo número está limitado por un máximo especificado.
Una vez asignados los componentes de la señal por pares, la aproximación a las amplitudes complejas se realiza de nuevo con los componentes de mayor importancia. La aproximación con el número reducido de componentes es más estable y la probabilidad de que los componentes que contiene hayan sido causados por ruido es menor.
Bibliografía
Se puede encontrar una excelente descripción del algoritmo Prony en:
•S. Lawrence Marple, Jr., "Digital Spectral Analysis with Applications", Prentice-Hall, 1987, p.303-349.