El diseño de filtros FIR mediante el método de ventana tiene el inconveniente de que no se puede influir en el error de aproximación en diferentes rangos de frecuencia. Por lo tanto, suele ser mejor introducir la estrategia minimax (minimización del error máximo) o un criterio de error con ponderación de frecuencia para el diseño del filtro. Así se obtiene el "mejor" filtro que puede lograrse para una especificación determinada.
El método FIR Equiripple, también conocido como método Remez Exchange, Parks-McClellan, siempre proporciona los filtros FIR con una longitud del filtro mínima. El método Parks-McClellan proporciona la solución a un filtro utilizando el algoritmo Remez Exchange en un proceso de iteración. Como este método de aproximación puede utilizarse para generar filtros con ondulación constante tanto en la banda de paso como en la de rechazo, los filtros también se conocen como filtros Equiripple.
El algoritmo Remez Exchange es un algoritmo de optimización basado en polinomios de Chebyshev. Para el filtro deseado, se forma una función de error a partir de una combinación lineal de funciones coseno y se minimiza mediante un procedimiento de optimización eficaz.
Criterio minimax o Chebyshev
Este método de diseño utiliza el denominado criterio Chebyshev o minimax. Se busca una respuesta de frecuencia A(ejω) que minimice el máximo error de aproximación ponderado de la función de error en intervalos de frecuencia definidos. Para ello, se establece la siguiente función de error:
E(ω) … Función de error
W(ω) … Función de ponderación
H(ejω) … Respuesta de frecuencia deseada
A(ejω) … Función de aproximación
La función de error, la función de ponderación y la respuesta de frecuencia deseada solo se definen para subintervalos cerrados del dominio de la frecuencia normalizado 0 <= ω <= 0,5. Por ejemplo, un filtro de paso bajo tiene los intervalos 0 <= ω <= ωp y ωs <= ω <= 0,5. En la zona de transición, la función de aproximación no está limitada y, por tanto, puede adoptar cualquier forma, ya que aquí no se definen límites de error.
Los filtros pueden diseñarse para respuestas de frecuencia definidas libremente. Para ello, puede pasar la respuesta de frecuencia deseada como una señal cuyo componente Y contenga las amplitudes en forma de curva continua y cuyo componente X contenga las frecuencias normalizadas correspondientes (rango 0 - 0,5).
Principio del algoritmo Remez Exchange
El procedimiento se basa en la reformulación de la tarea de diseño del filtro en una tarea de aproximación polinómica. Mediante un proceso iterativo se aproxima una única función polinómica pn(x) que cumple las especificaciones pn(xi)=yi±h dentro de una banda de error. El polinomio oscila dentro de la banda de error en los valores extremos locales en torno a ±h. El grado n del polinomio y la banda de error ±h pueden seleccionarse libremente. Se aplica el llamado teorema de alternancia, que se describe detalladamente en Oppenheim y Schafer, entre otros.
1. El polinomio de ajuste pn(x) de grado n para un conjunto de n+2 puntos de datos (xi, yi) se determina resolviendo el sistema lineal de ecuaciones para los coeficientes del polinomio a0..an y error h. Se especifican los valores de la función yi (i=1..n+2) que deben alcanzarse. El resultado es un sistema de ecuaciones con n+2 ecuaciones:
2. Determinación de los n+2 extremos de las desviaciones de la especificación.
3. Determinación del nuevo polinomio de ajuste de grado n utilizando nuevos valores xi que se encuentran en los extremos, como en 1.
4. Repetición del algoritmo hasta que el error ±h cumpla las especificaciones.
El método es muy flexible y puede utilizarse para calcular soluciones óptimas para la mayoría de los filtros no recursivos (por ejemplo, diferenciadores digitales, transformadores de Hilbert, filtros de paso bajo, paso alto, pasa banda y multibanda con una respuesta de amplitud constante a trozos). Incluso es posible especificar cualquier respuesta de amplitud y determinar el filtro óptimo a partir de ella.
Uno de los algoritmos informáticos más populares basado en el algoritmo Remez Exchange fue desarrollado por James H. McClellan, Thomas W. Parks y Lawrence R. Rabiner y también se conoce como método Parks McClellan. El algoritmo utilizado en FlexPro se basa en este algoritmo. Se pueden diseñar filtros con una longitud de filtro predefinida y determinar los filtros óptimos en función de una especificación predefinida.
Ponderación de errores y límites de error
Hay dos formas de calcular un filtro FIR. Puede introducir la longitud del filtro o puede introducir una especificación y calcular la longitud del filtro a partir de ella.
Longitud del filtro predeterminada
Si se especifica una longitud del filtro, solo puede especificarse la relación de los errores de las bandas individuales, ya que no es seguro que la especificación deseada (límites de error absolutos) pueda mantenerse con la longitud del filtro especificada.
La longitud del filtro especificada corresponde a la longitud de la respuesta al impulso. En este caso, se especifica la ponderación de los errores de las bandas individuales. Los factores de ponderación están relacionados entre sí. En un filtro multibanda con tres bandas, por ejemplo, la ponderación {1, 10, 1} significa que la segunda banda tiene una ondulación 10 veces menor que las otras dos bandas. Por lo tanto, esa banda es más lisa. Si no se especifica la ponderación, todas las bandas tienen el mismo coeficiente de ponderación.
Especificación prescrita
En este caso no se convierte la longitud del filtro. En su lugar, se especifican los límites de error deseados. A partir de esta información, la longitud L del filtro se estima empíricamente mediante la siguiente fórmula:
[Fuente: Antoniou, Andreas (2005). Digital Signal Processing. McGraw-Hill, New York, p. 701]
Esta fórmula solo se aplica a los filtros de paso bajo y paso alto. En los filtros multibanda, la longitud del filtro se estima para cada transición de una banda a la siguiente. El máximo valor se utiliza como valor inicial. A continuación, se aumenta o disminuye la longitud del filtro hasta determinar el filtro óptimo para la especificación deseada.
El método solo puede resolverse numéricamente y, por tanto, es relativamente complejo para órdenes elevados. Sin embargo, a diferencia del método de ventana, proporciona una solución óptima. Puede ocurrir que el algoritmo no encuentre una solución debido a problemas de convergencia.
Bibliografía
•Oppenheim, A. V. and Schafer, R. W. (1999). Discrete-Time Signal Processing, 2nd Edition. Prentice Hall, New Jersey.
•Antoniou, Andreas (2005). Digital Signal Processing. McGraw-Hill, Nueva York.
•J. H. McClellan, T. W. Parks, L. R. Rabiner. A Computer Program for Designing Optimum FIR Linear Phase Digital Filters. IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics, Vol. AU-21, N.º 6, diciembre de 1973
•L. R. Rabiner, J. H. McClellan and T. W. Parks. FIR Digital Filter Design Techniques Using Chebyshev Approximation. Proceedings IEEE, Vol. 63, N.º. 4, pág. 595 610, abril de 1975