En el procedimiento espectral AR (AutoRegressive) se utilizan algoritmos de estimación autorregresiva.
Los coeficientes AR pueden calcularse de varias maneras. Pueden calcularse a partir de estimaciones de la autocorrelación, de los coeficientes de autocorrelación parcial y mediante algoritmos de mínimos cuadrados. Cuando se calcula el modelo AR utilizando el método de correlación, el resultado depende del retardo máximo (maximum lag) para el que se calcula la autocorrelación. En el método de autocorrelación parcial depende de la definición específica del coeficiente de reflexión. En los métodos de mínimos cuadrados, el resultado depende de cómo se traten los datos en los bordes y de si se aproxima la matriz de datos o las ecuaciones normales.
Método de autocorrelación
El algoritmo basado en la autocorrelación simple, autocorrelación, ofrece la resolución más baja. Debido a la estimación de la secuencia de autocorrelación con un desfase limitado (la secuencia infinita se aproxima mediante una finita), se producen efectos de extremo. Se trata del algoritmo AR que se encuentra en muchos paquetes de análisis de series temporales y en paquetes estadísticos. A menudo se denomina método Yule-Walker. El algoritmo ajustado que se utiliza aquí siempre conduce a un filtro AR estable en el que todas las raíces se encuentran dentro del círculo unitario. Como se utiliza la recursión, también se calculan los coeficientes de todos los órdenes inferiores.
Se pueden encontrar versiones del procedimiento AR de autocorrelación en el paquete STARPACK y en las publicaciones de Marple (p.239) y Kay (p. 260). La aplicación de FlexPro se basa en STARPACK.
Método de máxima entropía
El algoritmo de Burg es probablemente el procedimiento AR más conocido. Debido a su derivación del contexto de los métodos de máxima entropía, a menudo se etiqueta como "MEM". El algoritmo calcula los coeficientes AR directamente a partir de los datos mediante la estimación de los coeficientes de autocorrelación parcial para órdenes sucesivos. Dado que los coeficientes calculados representan la media armónica de las estimaciones de autocorrelación hacia adelante y hacia atrás, se suele denominar algoritmo "armónico". El algoritmo muestra un desequilibrio en la estimación de las frecuencias centrales de los componentes espectrales y las aproximaciones de orden superior tienden a "dividirse", un fenómeno que lleva a generar múltiples picos aunque solo esté presente un único componente. El método Burg también produce filtros AR estables en los que todas las raíces se encuentran en el círculo unitario. También es recursivo y, por tanto, calcula los coeficientes de todos los órdenes inferiores en el camino hacia la solución.
Se pueden encontrar versiones del algoritmo Burg en el paquete CMLIB y en las publicaciones de Marple (p. 240) y Kay (p. 265). También se puede encontrar una versión del procedimiento Burg en el libro de Press. La implementación de Burg de FlexPro corresponde al algoritmo CMLIB.
Algoritmos de mínimos cuadrados
Los demás métodos utilizan aproximaciones simultáneas por mínimos cuadrados de los coeficientes AR. Los modelos de ecuaciones normales utilizan las ecuaciones normales que se emplean en las estimaciones típicas por mínimos cuadrados. Se forman matrices cuadradas para las sumas de elementos de datos hacia adelante y hacia atrás.
Ecuaciones normales FB es la variante del enfoque de ecuaciones normales con predicción hacia adelante y hacia atrás. Las sumas conllevan una pérdida de precisión, que puede traducirse en una menor resolución (en comparación con los métodos de matriz de datos directa) y una menor estabilidad. Si hay algo de ruido, la ecuación normal proporcionará resultados generalmente útiles. Estos algoritmos solo calculan los coeficientes para el orden especificado.
Los modelos de matriz de datos FB implementan el método de "covarianza modificada" de predicción lineal. En este contexto, la covarianza no tiene nada que ver con la aproximación de una matriz de covarianza. En su lugar, se aproxima a la serie de datos la matriz completa de datos o trayectorias, que suele ser rectangular. Matriz de datos FB es un algoritmo rápido que utiliza la simetría de la matriz de datos. El algoritmo genera una aproximación óptima por mínimos cuadrados sin la pérdida de resolución del enfoque de ecuaciones normales. Entre los métodos AR, el algoritmo de matriz de datos FB es probablemente el estimador de frecuencia más preciso para funciones senoidales no amortiguadas.
Encontrará versiones del método de la "covarianza modificada" en los libros de Marple (p. 248) y Kay (p. 262). El procedimiento de matriz de datos FB de FlexPro implementa el algoritmo de Marple. Los procedimientos de ecuaciones normales se han desarrollado especialmente para FlexPro.
Algoritmos de mínimos cuadrados con SVD
En los procedimientos AR de FlexPro no se puede especificar ningún número ni valor umbral para los picos. El espectro de potencia de un modelo AR es un polinomio con únicamente polos, cuyas raíces describen las frecuencias exactas de los picos.
Los procedimientos AR de FlexPro están diseñados para que puedan utilizarse opcionalmente con SVD. Sin SVD, todos los polos se consideran picos relevantes. Debe utilizarse un algoritmo SVD para restringir el espectro a la representación exclusiva de los componentes de la señal de interés.
Especifique un subespacio de señal de 2 para cada componente espectral de la señal. Por ejemplo, para modelar una señal con seis componentes senoidales, debe utilizarse un subespacio de señal de 12. El orden debe fijarse entre 40 y 80 para que el ruido pueda captarse eficazmente.
Aparte de los tiempos de cálculo más largos, los algoritmos SVD no presentan desventajas y hay una serie de ventajas si la modelización de componentes espectrales armónicos es el objetivo principal. Una aproximación SVD, en la que el subespacio de señal se establece igual al orden del modelo, conduce al mismo resultado que un procedimiento sin SVD.
El algoritmo de matriz de datos FB SVD es ideal para buscar componentes senoidales. Corresponde al procedimiento AR de componentes principales (PCAR = Principal Component AR). Sin embargo, puede ser bastante lento para grandes conjuntos de datos. Cuando hay ruido (que es la razón principal para utilizar SVD), el algoritmo de ecuaciones normales FB SVD produce resultados comparables en mucho menos tiempo.
La mayoría de los algoritmos AR en FlexPro se basan en el método de mínimos cuadrados ya que este proporciona las mejores estimaciones espectrales. Los métodos de mínimos cuadrados con separación señal-ruido integrada mediante SVD son los mejores métodos AR de FlexPro. La SVD se integra en los procedimientos AR.
Todos los procedimientos basados en SVD se han desarrollado especialmente para FlexPro.
Bibliografía
Una excelente presentación de los algoritmos espectrales AR puede encontrarse en:
•S. Lawrence Marple, Jr., "Digital Spectral Analysis with Applications", Prentice-Hall, 1987, pág. 172-284.
•Steven M. Kay, "Modern Spectral Estimation", Prentice Hall, 1988, pág. 153-270.
Una aplicación del algoritmo Burg contiene:
•W. H. Press, et. al, "Numerical Recipes in C", Cambridge University Press, 1992, pág. 564-575.
Véase también
Objeto de análisis Estimador espectral - estimador espectral AR