El procedimiento ARMA (AutoRegressive Moving Average) crea un modelo combinado de polos-ceros que puede mostrar tanto picos como valles. El modelo ARMA suele considerarse superior para modelizar señales con ruido. Desafortunadamente, se trata de un modelo no lineal que requiere un algoritmo iterativo para estimar los parámetros con precisión.
El tratamiento de los parámetros de los modelos AR y MA, cuyos órdenes pueden fijarse independientemente, aumenta considerablemente la complejidad de la modelización y la interpretación espectral. Parecía inapropiado permitir esta complejidad adicional mientras se toleraba el uso de parámetros ARMA subóptimos. Por este motivo, no se admiten los distintos procedimientos lineales subóptimos.
Algoritmo
Los cuatro algoritmos ARMA no lineales utilizan una aproximación Levenburg-Marquardt no lineal completa.
A diferencia de muchas implementaciones ARMA, el filtro ARMA en los algoritmos no lineales de FlexPro primero retrocede en la dirección del primer elemento de datos con "predicción hacia atrás" y, a continuación, avanza hacia delante sobre la serie completa de datos. Para cada parámetro, tanto el modelo ARMA como una derivada parcial deben calcularse punto por punto para cada iteración. Por tanto, el proceso de aproximación puede ser muy lento para grandes cantidades de datos y órdenes del modelo elevados.
El algoritmo no lineal no está sujeto a ninguna restricción, ya que los parámetros pueden variar libremente. El algoritmo de factorización espectral no lineal realiza una factorización espectral completa para que tanto las raíces AR como las MA se encuentren dentro del círculo unitario. A pesar del esfuerzo adicional debido a la factorización espectral, este algoritmo puede ser más rápido, ya que los parámetros pueden moverse en regiones inestables durante una gran parte de la aproximación no lineal.
FlexPro también ofrece ambos algoritmos con descomposición en valores singulares (SVD). Al igual que con las rutinas AR SVD, se define un subespacio de señal que solo contiene las singularidades que deben asignarse a los componentes de la señal. Aunque la determinación del ruido es una de las aplicaciones de los modelos ARMA, la reducción de los modos propios con SVD presenta ventajas. Dado que una gran parte del tiempo de aproximación se emplea en aproximar componentes de ruido, la supresión de estos modos propios puede acortar significativamente este tiempo. Los valles profundos y los picos pronunciados reciben el mismo tratamiento en la aproximación de mínimos cuadrados. Un modo propio principal puede asociarse a un valle si el componente MA correspondiente tiene una gran influencia en la función de ajuste de la aproximación de mínimos cuadrados.
Tipo de espectro
Solo hay cuatro formatos entre los que elegir para los espectros AR. La densidad espectral de potencia (PSD, Power Spectral Density) puede emitirse en una de las tres normalizaciones: Integral=TISA (Time Integrated Amplitude²), Integral=MSA (Mean Amplitude²), Integral=SSA (Summed Amplitude²), o bien en decibelios (dB). No existe un escalado normalizado en dB en el que el pico más alto se fije en 0 dB, ya que el alto de los picos agudos es muy impreciso y no tiene una relación lineal con la potencia del componente de señal correspondiente. En general, los espectros AR deben utilizarse principalmente como estimadores espectrales.
Parámetros
Uno de los mayores obstáculos en la aproximación ARMA es determinar el orden AR y MA. Es difícil encontrar los órdenes AR y MA óptimos. No hay razón para suponer que sean iguales, lo que significaría que por cada pico (raíz del modelo AR) hay un valle (raíz del modelo MA) en el espectro. Sin embargo, para facilitar la definición de los órdenes, se suele utilizar el mismo valor para ambos pedidos.
Si se requiere una aproximación AR pura, el orden MA puede fijarse en cero.
Dado que los algoritmos no lineales con factorización espectral aproximan modelos ARMA estables en los que todas las raíces se encuentran en el círculo unitario, las aproximaciones AR puras están limitadas del mismo modo. Nótese, sin embargo, que los algoritmos de matrices de datos lineales del procedimiento espectral AR (AutoRegressive) también suelen alcanzar esta estabilidad.
El campo Subespacio de señal solo se activa para los algoritmos SVD no lineal y Factorización espectral no lineal SVD. De forma análoga a los algoritmos AR SVD de FlexPro, debe seleccionarse un subespacio de señal que solo incluya los valores singulares significativos. Sin embargo, pueden asignarse tanto al modelo MA como al AR.
Dado que los valles se modelan, además de los picos, el subespacio de señal óptimo no es necesariamente igual al doble del número de componentes de banda estrecha del conjunto de datos.
Si establece el subespacio de señal en la suma de los órdenes de los modelos AR y MA, el ruido no se separa y la rutina SVD ofrece el mismo resultado que la rutina correspondiente sin SVD.
Espectro
Un espectro ARMA puede calcularse directamente a partir de los coeficientes AR y MA o, con una ventaja en la velocidad de procesamiento, mediante una FFT. La opción Ancho de banda completo selecciona un rango espectral de 0 a 0,5 de la frecuencia de Nyquist. Esto también significa que el espectro se calcula utilizando una FFT, mientras la opción Tasa de muestreo adaptiva permanezca desactivada. Si la opción Ancho de banda completo está activada, solo se puede ajustar el Número de frecuencias. A diferencia de la FFT, en la que se fija la longitud de la transformación, aquí se especifica el número de frecuencias del espectro. Por ejemplo, una FFT con 16384 puntos genera 8193 valores de frecuencia en el dominio de la frecuencia normalizado de 0 a 0,5. Para la opción Ancho de banda completo, es mejor seleccionar uno de los números rápidos de la lista desplegable, ya que estos dan como resultado una potencia de 2 como longitud de la FFT. Los procedimientos ARMA utilizan el algoritmo FFT Best Exact n.
Si la opción Ancho de banda completo está desactivada, puede especificar la Frecuencia inicial y final deseada y el Número de frecuencias que deben calcularse en esta banda. Esto permite calcular un espectro de alta resolución solo para el dominio de la frecuencia de interés. Esta opción calcula directamente el espectro y, por tanto, puede seleccionarse cualquier tamaño.
La opción Tasa de muestreo adaptiva siempre calcula el espectro directamente. Un espectro ARMA puede constar de picos impresionantemente nítidos, sobre todo si se compara con los espectros FFT simples. Con una frecuencia de muestreo constante, un número de 8193 puntos distribuidos por igual es útil para lograr una buena visualización de los picos y los valles. Sin embargo, incluso con un gran número de picos, puede perderse parte de la potencia de un pico. Alternativamente, FlexPro utiliza un procedimiento Runge-Kutta para integrar adaptativamente el espectro y guarda los puntos que se utilizaron durante la integración. Estos representan un conjunto adaptativo de valores de frecuencia que están más próximos entre sí en el rango de los picos.
Opciones - Etiquetado (solo en el asistente para análisis)
El botón Etiquetado permite visualizar los valores Y y/o X de los picos del espectro. Los picos del espectro se localizan buscando primero un espectro con 8193 frecuencias distribuidas uniformemente. A continuación, estos picos se ajustan mediante un procedimiento de optimización unidimensional utilizando el modelo ARMA continuo. En los algoritmos sin SVD, cada máximo local se considera un pico válido. Por lo tanto, el número de picos puede corresponder como máximo a la mitad del orden del modelo AR. Para las rutinas SVD, el número máximo de picos es igual a la mitad del valor del subespacio de señal.
A diferencia de la FFT, no es posible comparar la potencia de los picos midiendo su altura. En cambio, las áreas bajo los picos son una medida de la potencia estimada.
Opciones - Establecer/eliminar referencia (solo en el asistente para análisis)
Esta función permite comparar distintos procedimientos espectrales y configuraciones. El botón Establecer referencia muestra una copia del espectro actualmente visualizado en el nivel inferior de la ventana. A continuación, puede realizar otras configuraciones que afecten a la visualización en el nivel superior. Con Eliminar referencia se elimina la copia y se vuelve a mostrar la señal de tiempo.