Descomposición de Fourier
La transformada rápida de Fourier (FFT= Fast Fourier Transform) descompone una señal de tiempo (que también puede ser una función de cualquier otra variable) en funciones exponenciales complejas (seno y coseno). Una transformada de Fourier proporciona información completa sobre el espacio de frecuencias, pero no contiene información sobre la aparición temporal de los componentes de la señal. Por lo tanto, la señal debe ser en gran medida estacionaria, con un valor medio y una varianza constantes en amplios dominios de tiempo, o bien solo es posible hacer afirmaciones cualitativas sobre los componentes espectrales si estos se producen en algún momento del dominio de tiempo registrado.
El FFT es un algoritmo rápido para generar una transformada discreta de Fourier (DFT). La DFT y su transformación inversa se definen del siguiente modo:
Aunque la DFT es muy sencilla, tiene un tiempo de ejecución proporcional a n². En cambio, la FFT es proporcional a n*log2(n). La diferencia en la velocidad de cálculo es muy significativa para grandes conjuntos de datos. El FFT "best-exact-n" utilizado en FlexPro emplea cuatro algoritmos FFT diferentes.
La descomposición de Fourier tiene una resolución limitada, ya que las frecuencias para las que se calculan las funciones seno y coseno están distribuidas por igual y su número es fijo. Para un conjunto de datos con n valores, se obtienen n frecuencias complejas. En los datos de entrada reales, las frecuencias negativas reflejan las positivas y, por tanto, solo se muestran las positivas. Esto da lugar a un número de frecuencias n / 2 + 1 en el espectro. Las frecuencias normalizadas están en el intervalo de 0 a 0,5, la frecuencia de Nyquist. La frecuencia 0 corresponde al componente continuo o valor medio de la señal de tiempo y, a menudo, se denomina CC. La frecuencia de Nyquist es la frecuencia más alta que puede reconocerse con una frecuencia de muestreo determinada. Todavía existen dos valores de muestreo por período en la señal de tiempo para componentes de señal de esta frecuencia. FlexPro suele mostrar las frecuencias reales. Las frecuencias normalizadas solo se utilizan si no se dispone de información de tiempo en el conjunto de datos de entrada.
Funciones elementales continuas
La descomposición de Fourier muestra los datos de entrada como una combinación lineal de funciones elementales seno y coseno. Aunque tanto los datos como las series de Fourier resultantes son discretos, las funciones elementales son continuas y no tienen restricciones en su expansión temporal. Por lo tanto, es posible calcular la señal de tiempo para cualquier instante en el rango de la secuencia original:
Las funciones elementales de Fourier pueden representarse como funciones exponenciales complejas, como pares de funciones seno y coseno sin fase o como funciones seno o coseno con fase. En FlexPro, todos los algoritmos basados en Fourier muestran las fases de las funciones elementales coseno en el rango de -π/2 bis +π/2. En la ecuación anterior, A es la amplitud de salida, ν es la frecuencia y θ es la fase. La señal puede reconstruirse en cualquier instante t analizando y sumando los valores de todas las funciones coseno Nspec del espectro para ese punto. Las amplitudes se ajustan de modo que toda la potencia de la señal esté representada por las frecuencias positivas.
Manchado espectral
El término manchado espectral (spectral leakage) se refiere a la pérdida de potencia de una determinada frecuencia hacia otras líneas de frecuencia del espectro. La aproximación de un conjunto de datos de longitud finita mediante una serie de Fourier infinita supone que los datos son completamente periódicos. El espectro calculado es el de un conjunto de datos resultante de la concatenación infinita del conjunto de datos existente. Solo en muy pocos casos los conjuntos de datos pueden concatenarse sin crear discontinuidades en los bordes. Estas discontinuidades son una de las causas del manchado espectral.
El manchado espectral también se produce debido al número fijo y linealmente distribuido de líneas de frecuencia presentes en la FFT. Si la frecuencia de una función elemental no coincide exactamente con una línea espectral, parte de la potencia de la señal se perderá en otras líneas espectrales. Por tanto, cabe suponer que algunos de los valores espectrales vecinos contribuyen a este pico. Incluso puede darse el caso de que si la frecuencia de un componente espectral no coincide con una línea de frecuencia, todas las líneas espectrales del espectro lleven una parte de la varianza originada por este componente. Este efecto disminuye cuanto más se aleja de la frecuencia de interés.
Un FFT también puede considerarse una aproximación lineal de un modelo de funciones seno y coseno distribuidas por igual. Si se aproxima de forma no lineal una única función senoidal, los parámetros pueden determinarse por completo, ya que la amplitud, la frecuencia y la fase pueden variar libremente. Esto no es posible con un FFT. Mientras que la amplitud y la fase pueden variar, la frecuencia no puede hacerlo. Si una función senoidal no coincide exactamente en una de las frecuencias especificadas, se difuminará en varias frecuencias.
Mientras que el manchado espectral resultante de la disposición fija de las frecuencias es un problema inherente al FFT, se puede hacer mucho para eliminar la fuga resultante por los efectos de borde. Para minimizar el manchado espectral, se puede utilizar un conjunto de datos que se aproxime a una serie continua infinita atenuándola hasta cero en ambos bordes. Esto se consigue mediante funciones de ventana.
Ventanas de ponderación
Estas ventanas se utilizan generalmente en el dominio del tiempo, aunque estén diseñadas en el dominio de la frecuencia. Esto se debe a que en el dominio del tiempo basta una simple multiplicación para realizar la ponderación. FlexPro ofrece una amplia gama de ventanas de ponderación que se utilizan habitualmente en el procesamiento de señales.
Una ventana rectangular (sin ponderación) genera un ancho espectral unilateral de 1,0 en el dominio de frecuencias. Las funciones de ventana de FlexPro varían en su ancho espectral en el rango de 1,1 a 6,0. Muchas ventanas comunes tienen anchos de 2,0, 3,0 y 4,0. Si un conjunto de datos se pondera con una ventana, se suprimen partes de la señal en los bordes y se reduce la resolución. Una ventana de ancho 2 reduce la resolución a la mitad y una ventana de ancho 4 a la cuarta parte.
Aunque se suprime parte de los datos y a pesar de la pérdida de resolución, un FFT con ventanas suele ser la mejor forma de estimar con precisión los componentes espectrales. Al amortiguar los datos uniformemente hasta cero en los bordes, el manchado espectral se reduce hasta tal punto que solo es reconocible en una escala logarítmica.
Si se procesan los datos de la FFT ponderados con una ventana, el ancho de los intervalos de frecuencias (frequency bins) aumenta. Este ancho suele denominarse orden de la ventana. Las ventanas de Hann y Hamming dispersan la información espectral en dos líneas espectrales y, por tanto, son ventanas de orden 2. Este control reduce el manchado espectral que se produce cuando un componente espectral está demasiado cerca del borde de un bin de frecuencia (frequency bin). Entre las muchas propiedades que tiene una función de ventana, el ancho es la más importante, ya que determina tanto la resolución espectral como el rango dinámico máximo de la FFT. Cada ventana tiene unas propiedades características y está optimizada para un fin específico. Algunas ventanas tienen un parámetro ajustable que está diseñado para todas las ventanas de ponderación de FlexPro de manera que controla el ancho del lóbulo principal (main lobe).
Algunas ventanas minimizan el manchado espectral en su conjunto con el inconveniente de que ya no decae con la distancia a la línea de frecuencia considerada (rolloff). Estas ventanas proporcionan una resolución excelente para picos muy próximos de diferentes alturas, pero pueden cubrir picos alejados con una potencia mucho menor. La ventana Chebyshev muestra el manchado espectral mínimo para líneas de frecuencia vecinas en un ancho de ventana determinado. Otras ventanas optimizan el decaimiento (rolloff) del manchado espectral a costa de incrementar de su valor absoluto para las líneas de frecuencia vecinas. Dos picos distantes con baja potencia se visualizan bien, pero un pico con menor potencia que esté cerca de un pico con alta potencia puede quedar completamente cubierto.
Por tanto, existen dos criterios a la hora de elegir una función de ventana. La primera es la resolución. Seleccione el mayor ancho de ventana posible para que la resolución siga siendo aceptable. El segundo criterio es la distribución de los picos que hay que resolver. Si desea detectar principalmente picos muy alejados de baja potencia, seleccione una ventana de Maximum-Rolloff, es decir, una ventana en la que los máximos laterales decaigan lo más rápidamente posible. Si desea evaluar picos muy próximos de distinta potencia, seleccione una ventana de Minimum-Sidelobe, es decir, una ventana con la máxima atenuación del primer lóbulo lateral. A menudo conviene llegar a un compromiso. Las ventanas más conocidas, como la popular ventana Cos4 Blackman-Harris, tienden a optimizar la atenuación del primer lóbulo lateral.
La Flattopes una característica especial. Aunque tiene un ancho del lóbulo principal de 5, es decir, ofrece una resolución espectral relativamente baja, el lóbulo principal tiene casi el mismo valor absoluto en todo el rango desde una línea de frecuencia hasta sus vecinas izquierda y derecha. Por tanto, el lóbulo principal tiene un pico ancho pero plano. Esta ventana es, por tanto, especialmente adecuada para medir la potencia o las amplitudes de componentes de señales de banda estrecha, es decir, picos individuales en el espectro. La altura de un pico es casi independiente de su posición entre dos líneas de frecuencia debido a la forma especial del lóbulo principal.
Promedio del periodograma
Las ventanas de ponderación suprimen la información en los bordes de la ventana y resaltan el contenido espectral en el centro del conjunto de datos. Si los datos son estacionarios, esto solo se traduce en un aumento de la varianza de la estimación espectral. El periodograma es un procedimiento espectral que resuelve este problema. En este método, los FFT pondaradas con una ventana se calculan para segmentos de datos solapados y luego se promedian. Esto reduce la varianza a expensas de la resolución espectral.
Análisis multitaper
Otro algoritmo que incorpora la información en el borde del conjunto de datos es el espectro multitaper. En este procedimiento, se promedian los espectros de una secuencia de ventanas ortogonales. El espectro resultante también tiene una varianza reducida, se tienen en cuenta todos los datos y la resolución espectral corresponde aproximadamente a un simple FFT pondarada con una ventana.
Bibliografía
Buenas introducciones al procesamiento digital de señales son:
•Oppenheim, A. V. and Schafer, R. W. (1989). Discrete-Time Signal Processing. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ.
•H.D. Lüke (1985). Signalübertragung. Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York. ISBN 3-540-15526-0.
Los algoritmos FFT utilizados en FlexPro se describen en:
•C. Temperton, "Implementation of a Self-Sorting In-Place Prime Factor FFT Algorithm", Journal of Computational Physics, v. 58, p. 283, 1985
•R. C. Singleton, "An Algorithm for Computing the Mixed Radix Fast Fourier Transform", IEEE Trans. Audio Electroacoust., v. AU-17, p. 93, junio 1969
•L. R. Rabiner, R. W. Schafer, C. M. Rader, "The Chirp z-Transform Algorithm and Its Application", BSTJ, 48, pág. 1249, mayo-junio de 1969
Encontrará información sobre las funciones de ventana en:
•Albert H. Nuttall, "Some Windows with Very Good Sidelobe Behavior", IEEE Trans. ASSP, v29-1, feb. 1981.
Proporciona información sobre los espectros multitaper:
•Jonathan Lees and Jeffrey Park, "Multiple Taper Spectral Analysis", Computers and Geosciences, v21, pág. 199, 1995.