Realiza un ajuste de curvas utilizando la distribución Weibull de dos parámetros (análisis de vida útil).
Sintaxis
WeibullFit(Sample, [ NumberOfRightCensoredValues = 0 ], [ Algorithm = WEIBULLFIT_ALGORITHM_LSE ], [ MLECorrectionFactor = TRUE ], [ MLEMaximumNumberOfIterations = 500n ] [ , MLETolerance = 1e-6 ])
La sintaxis de la función WeibullFit consta de los siguientes elementos:
Parte |
Descripción |
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Sample |
Muestra a partir de la cual se debe realizar un análisis de vida útil mediante el ajuste de curva utilizando la distribución de Weibull de dos parámetros. La muestra consiste exclusivamente en los objetos fallidos con los correspondientes tiempos a fallo en el componente Y del conjunto de datos. Las estructuras de datos permitidas son Serie de datos y Señal. Se permiten todos los tipos de datos reales. Si el argumento es una lista, la función se ejecuta para cada elemento de la lista y el resultado también es una lista. |
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NumberOfRightCensoredValues |
Número de objetos de prueba que aún no han fallado al final de la medición (y que, por tanto, no están incluidos en la muestra). Las estructuras de datos permitidas son Valor escalar. Los tipos de datos permitidos son Entero de 16 bits, Entero de 32 bits y Entero de 64 bits. El valor debe ser mayor o igual que 0. Si el argumento es una lista, la función se ejecuta para cada elemento de la lista y el resultado también es una lista. Se establece el valor predeterminado 0 si no se especifica el argumento. |
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Algorithm |
Especifica qué algoritmo de ajuste de curvas se debe utilizar para estimar la distribución Weibull de dos parámetros. El argumento Algorithm puede tener los siguientes valores:
Si el argumento es una lista, se toma su primer elemento. Si se trata de nuevo de una lista, se repite el proceso. Se establece el valor predeterminado WEIBULLFIT_ALGORITHM_LSE si no se especifica el argumento. |
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MLECorrectionFactor |
Especifica si debe tenerse en cuenta un factor de corrección en el caso del ajuste de curva por máxima verosimilitud. Fondo: Una desventaja de la estimación de parámetros de máxima verosimilitud es su sesgo (bias) cuando el tamaño de la muestra es pequeño. Para corregir esta desventaja, pueden tenerse en cuenta factores de corrección adecuados (en función del tamaño de la muestra). Por lo tanto, el argumento solo se utiliza si se ha seleccionado como algoritmo la estimación de parámetros por máxima verosimilitud. Las estructuras de datos permitidas son Valor escalar. Los tipos de datos permitidos son Valor booleano. Si el argumento es una lista, se toma su primer elemento. Si se trata de nuevo de una lista, se repite el proceso. Se establece el valor predeterminado TRUE si no se especifica el argumento. |
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MLEMaximumNumberOfIterations |
El ajuste de curva de máxima verosimilitud de la distribución Weibull de dos parámetros se resuelve de forma numérica mediante la búsqueda de ceros. Esta última se implementa utilizando la iteración de punto fijo. El argumento especifica el número máximo de iteraciones que se van a realizar. Por lo tanto, el argumento solo se utiliza si se ha seleccionado como algoritmo la estimación de parámetros por máxima verosimilitud. Las estructuras de datos permitidas son Valor escalar. Los tipos de datos permitidos son Entero de 16 bits, Entero de 32 bits y Entero de 64 bits. El valor debe ser mayor o igual que 1. Si el argumento es una lista, se toma su primer elemento. Si se trata de nuevo de una lista, se repite el proceso. Se establece el valor predeterminado 500n si no se especifica el argumento. |
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MLETolerance |
La iteración de punto fijo para la determinación de parámetros del ajuste de curva de máxima verosimilitud finaliza si el cambio de valor relativo es menor que el delta especificado. Por lo tanto, el argumento solo se utiliza si se ha seleccionado como algoritmo la estimación de parámetros por máxima verosimilitud. Las estructuras de datos permitidas son Valor escalar. Los tipos de datos permitidos son En coma flotante de 64 bits. Si el argumento es una lista, se toma su primer elemento. Si se trata de nuevo de una lista, se repite el proceso. Se establece el valor predeterminado 1e-6 si no se especifica el argumento. |
Notas
Como resultado del ajuste de la curva, los parámetros ajustados α y β de la distribución de Weibull de dos parámetros se muestran como una lista. La densidad de probabilidad continua f(x) y la función de distribución F(x) de la distribución de Weibull con los parámetros α y β (parámetros de forma) vienen dadas por
Nota: En la bibliografía, la vida útil característica T se utiliza a menudo como alternativa al parámetro α (y β se etiqueta como k). En este caso se aplica la siguiente relación:
Se puede acceder a los resultados de la lista (es decir, los parámetros encontrados para el ajuste de curva) utilizando la siguiente sintaxis: result.alpha o result.beta. Con la ayuda de la función Distribution se puede mostrar la distribución (o un gráfico de supervivencia (Survival-Plot)) de la distribución de Weibull ajustada (distribución de vida útil).
Los algoritmos para el ajuste de curva de Weibull pueden describirse esquemáticamente del siguiente modo:
Algoritmo de mínimos cuadrados
Si se representa la distribución de una variable aleatoria con distribución de Weibull en la forma log(log(1/(1-F(x)))) = β*log(x) + log(α) en un diagrama logarítmico doble (red de Weibull), el resultado es una línea recta con pendiente β e la ordenada en el origen log(α). Este mismo principio se utiliza ahora para el ajuste de curva de Weibull por mínimos cuadrados. La función de distribución empírica F_emp sirve para estimar la distribución de la muestra (con la fórmula de Hazen como modo de cálculo según la función EmpiricalDistribution). A continuación, se determinan la pendiente y la ordenada en el origen de log(log(1/(1-F_emp)) mediante un cálculo de regresión lineal. Esto proporciona finalmente estimadores para los parámetros β y log(α), y por tanto también para α.
Encontrará más detalles en [1, capítulo 13, sección 3.2.1] o [2, capítulo 5, sección 5.1.2.2].
Algoritmo de máxima verosimilitud
Este algoritmo se basa en el principio habitual de máxima verosimilitud, según el cual (expresado de forma simplificada) se seleccionan como estimación aquellos parámetros α y β cuya distribución hace que la realización de los datos observados sea más verosímil. Esto puede formularse matemáticamente de forma equivalente a un problema de maximización, en el que los parámetros deben seleccionarse de forma que la denominada función de log-verosimilitud sea máxima. Los puntos extremos de la función de log-verosimilitud corresponden, a su vez, a los ceros de la derivada de la función de log-verosimilitud con respecto a los parámetros α y β. En el caso actual de la distribución de Weibull de dos parámetros, la determinación de ceros, antes mencionada, no tiene una solución analítica cerrada, sino que puede determinarse de forma iterativa utilizando un solucionador numérico de ecuaciones. Se utiliza una iteración de punto fijo como solucionador númerico de ecuaciones. La iteración de punto fijo finaliza si el cambio de valor relativo de los parámetros es inferior al delta especificado (véase el argumento MLETolerance). El número máximo de iteraciones viene determinado por el argumento MLEMaximumNumberOfIterations. Si se ha alcanzado el número máximo de iteraciones y el cambio relativo del valor aún no ha caído por debajo del valor de tolerancia especificado, el algoritmo no ha convergido y se muestra el mensaje de error correspondiente.
Una desventaja de la estimación de parámetros de máxima verosimilitud es su sesgo (bias) cuando el tamaño de la muestra es pequeño. Para corregir esta desventaja, pueden tenerse en cuenta factores de corrección adecuados (en función del tamaño de la muestra) (véase el argumento MLECorrectionFactor).
Todos los detalles se encuentran en [2, capítulo 5, sección 5.1.2.3] y [3].
Disponibilidad
Opción Estadística
Ejemplos
WeibullFit(Sample)
Realiza un ajuste de curva por mínimos cuadrados utilizando la distribución de Weibull de dos parámetros de una muestra y devuelve los parámetros encontrados α y β como una lista. La muestra contiene solo los objetos fallidos con los correspondientes tiempos a fallo en el componente Y.
Dim p = WeibullFit(Sample)
Dim x = Series(0, 5*Maximum(Sample), 0.1)
Signal(Distribution(x, DISTRIBUTION_WEIBULL, p.alpha, p.beta), x)
Realiza un ajuste de curva de Weibull de una muestra y calcula la distribución de Weibull ajustada (distribución de vida útil) en el intervalo [0, 5*Maximum(Sample)].
Dim p = WeibullFit(Sample)
Dim x = Series(0, 5*Maximum(Sample), 0.1)
Signal(1 - Distribution(x, DISTRIBUTION_WEIBULL, p.alpha, p.beta), x)
Realiza un ajuste de curva de Weibull de una muestra y calcula el gráfico de supervivencia (Survival-Plot) resultante en el intervalo [0, 5*Maximum(Sample)].
WeibullFit(Sample, 7)
Como ampliación del primer ejemplo, la muestra se completa ahora con 7 unidades adicionales que aún no han fallado hasta el final de la medición. La vida útil de estas 7 unidades de ensayo adicionales es, por tanto, superior al máximo de todos los tiempos a fallo del componente Y de la muestra.
WeibullFit(Sample, , WEIBULLFIT_ALGORITHM_MLE)
Realiza un ajuste de curva de máxima verosimilitud utilizando la distribución de Weibull de dos parámetros de una muestra y devuelve los parámetros encontrados α y β como una lista. La muestra contiene solo los objetos fallidos con los correspondientes tiempos a fallo en el componente Y.
Véase también
Bibliografía
[1] Hartung, Joachim: Statistik, 9. Auflage. Oldenbourg Verlag GmbH, München, 1993. ISBN 3-486-22055-1.
[2] Wilker, Holger: Weibull-Statistik in der Praxis, 2. Auflage. Books on Demand GmbH, Norderstedt, 2010. ISBN 3-8391-6241-5.
[3] T. Kernane and Z. A. Raizah: Fixed point iteration for estimating the parameters of extreme value distributions. En: Communications in Statistics - Simulation and Computation, Taylor and Francis, Vol. 38, No. 10, Pages 2161-2170. Prentice Hall, 2009.