On peut appliquer une propriété connue du produit scalaire : Pour deux vecteurs a et b, on a <a,b> = |a| |b| cos φ. Dans l’espace de Hilbert L², le produit scalaire est défini comme l’intégrale du produit des deux fonctions.
On obtient donc cos φ = ∫ U(t) I(t) dt / √(∫ U(t)² dt * ∫ I(t)² dt).
Le résultat est d’autant meilleur si l’intégration est calculée sur un nombre entier de périodes.
Si les signaux sont échantillonnés de manière équidistante, on peut remplacer l’intégrale par la somme, soit
Dim cos_phi = Sum(U * I) / Sqrt(Sum(U, SUM_SQUARE) * Sum(I, SUM_SQUARE))
Les perturbations individuelles ne devraient pas affecter davantage le résultat, mais peuvent être prétraitées si nécessaire, par exemple avec un filtre (IIR ou médian).
