NonLinCurveFit (FPScript)

07.02.2018
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NonLinCurveFit (FPScript)

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NonLinCurveFit (FPScript)

Approximiert ein nicht-lineares Modell an einen Datensatz und übergibt die gefundenen Modellparameter, die modellierten Daten und eine Vielzahl statistischer Ergebnisse.

Syntax

NonLinCurveFit(Model, Data, [ InitialValues ], [ Bounds ], [ WeightingMode = NLCF_WEIGHTING_DATA ], [ Variance ], [ ScalingMode = NLCF_SCALING_NONE ], [ Scaling ], [ OutputOptions = NLCF_OUTPUT_PREDICTED_VALUES ], [ Settings ], [ Algorithm = NLCF_ALGORITHM_FULLNEWTON ] [ , OptionalParameters ])

 

Die Syntax der NonLinCurveFit-Funktion besteht aus folgenden Teilen:

Teil

Beschreibung

Model

Bestimmt das Modell, welches an die Daten angepasst werden soll.

Das Argument kann entweder aus einer Liste vordefinierter Modelle ausgewählt werden oder es kann ein benutzerdefiniertes Modell angegeben werden.

Das benutzerdefinierte Modell wird als Zeichenkette oder als Datenreihe mit zwei Zeichenketten übergeben. Die erste Zeichenkette enthält den FPScript-Code zur Berechnung der Modellfunktion. Mit der zweiten Zeichenkette wird ein FPScript-Code übergeben, der die partiellen Ableitungen der Modellfunktion für die einzelnen Parameter analytisch berechnet und als Liste ausgibt. Wird nur eine Zeichenkette angegeben, so werden die Ableitungen numerisch approximiert. Die Parameter eines benutzerdefinierten Modells mit der Parameteranzahl n müssen als p[0], p[1], ..., p[n-1]im FPScript-Code referenziert werden. Die unabhängige Variable ist x.

Z. B. wird für das Modell 'y = a + b x' die Datenreihe {"p[0] + p[1] * x", "[1, x]"} für eine analytische Berechnung bzw. die Zeichnekette "p[0] + p[1] * x" für eine numerische Berechnung der Ableitungen angegeben.

Es ist zu beachten, dass x als Datenreihe und nicht als Einzelwert übergeben wird, d. h. die Modellfunktion und die partiellen Ableitungen werden in einem Schritt für alle X-Werte berechnet. Der FPScript-Code muss entsprechend ausgelegt werden.

Es lassen sich auch Modelle mit mehreren abhängigen Variablen definieren. Die Modellfunktionen werden dann als Liste und die Ableitungen als Liste mit Listen übergeben:

{"[ p[0] + p[1] * x.[0], p[1] * x.[1]^2 ]", "[ [1,x.[0] ] , [0, x.[1]^2 ] ]"}

Erlaubte Datenstrukturen sind Einzelwert und Datenreihe. Unterstützte Datentypen sind 16-Bit Ganzzahl, 32-Bit Ganzzahl, 64-Bit Ganzzahl und Zeichenkette.

Data

Sind die Daten, an die das Modell angepasst werden soll. Wenn das Modell mehrere abhängige Variable hat, dann muss das Argument als Liste mit je einem Datensatz pro Variable angegeben werden.

Erlaubte Datenstrukturen sind Datenreihe, Datenmatrix, Signal, Signalreihe und Liste. Es sind alle numerischen Datentypen erlaubt außer Kalenderzeit.

Bei komplexen Datentypen erfolgt eine Betragsbildung.

InitialValues

Ist die Datenreihe mit den Startwerten für die zu ermittelnden Parameter des Modells. Wenn Sie eines der vorgegebenen Modelle verwenden, können Sie das Argument weglassen. In diesem Fall werden dann modellspezifische Startwerte verwendet. Die Anzahl der Werte entspricht der Parameteranzahl des Modells multipliziert mit der Peak-Anzahl.

Erlaubte Datenstrukturen sind Datenreihe. Es sind alle numerischen Datentypen erlaubt. Die Einheit des Arguments wird ignoriert.

Bei komplexen Datentypen erfolgt eine Betragsbildung.

Bounds

Ist die Datenmatrix mit den Grenzen für die zu ermittelnden Parameter des Modells. Pro Parameter enthält die Matrix eine Spalte mit zwei Grenzen. Wenn Sie das Argument weglassen, werden keine bzw. modellspezifische Grenzwerte verwendet. Einzelne Grenzen können Sie ungültig setzen. Die Grenzen müssen innerhalb des vom jeweiligen Modell vorgegebenen Bereichs liegen. Die Obergrenze muss größer als die Untergrenze sein.

Erlaubte Datenstrukturen sind Datenmatrix. Es sind alle numerischen Datentypen erlaubt. Die Einheit des Arguments wird ignoriert.

Bei komplexen Datentypen erfolgt eine Betragsbildung.

WeightingMode

Gibt an, wie die einzelnen Datenpunkte, an die das Modell angepasst werden soll, gewichtet werden. Die Vorgabe ist Gewichtung anhand der Daten.

Das Argument WeightingMode kann folgende Werte haben:

Konstante

Bedeutung

NLCF_WEIGHTING_NONE

Keine Gewichtung.

NLCF_WEIGHTING_RELATIVE

Relative Gewichtung mit 1 / Y2.

NLCF_WEIGHTING_POISSON

Poisson-Gewichtung mit 1 / Y.

NLCF_WEIGHTING_DATA

Wenn die Daten als Datenmatrix oder Signalreihe vorliegen, dann Gewichtung mit 1 / σ2, ansonsten keine Gewichtung.

NLCF_WEIGHTING_CUSTOM

Gewichtung mit 1 / σ2, σ2 wird angegeben.

Wenn das Argument nicht angegeben wird, wird es auf den Vorgabewert NLCF_WEIGHTING_DATA gesetzt.

Variance

Ist eine Datenreihe mit den Varianzen der einzelnen Datenpunkte. Wenn Sie ein benutzerdefiniertes Modell mit mehreren abhängigen Variablen verwenden, müssen Sie ein Liste mit je einer Datenreihe pro Variable angeben. Das Argument müssen Sie nur angeben, wenn Sie benutzerdefinierte Gewichtung gewählt haben.

Erlaubte Datenstrukturen sind Datenreihe und Liste. Es sind alle numerischen Datentypen erlaubt. Die Einheit des Arguments wird ignoriert.

Bei komplexen Datentypen erfolgt eine Betragsbildung.

ScalingMode

Gibt an, welche Skalierung für das Problem verwendet werden soll.

(*) nicht bei Levenberg-Marquardt-Algorithmus

Das Argument ScalingMode kann folgende Werte haben:

Konstante

Bedeutung

NLCF_SCALING_NONE

Keine Skalierung.

NLCF_SCALING_ADAPTIVE

Adaptive Skalierung. Bei jeder Iteration werden die Parameter anhand der Jakobimatrix skaliert.

NLCF_SCALING_CUSTOM

Benutzerdefinierte Skalierung.

NLCF_SCALING_BOUNDS

Skalierung anhand der Grenzen: 1 / Maximum(Absolute(Untergrenze Parameter),Absolute(Obergrenze Parameter)) (*)

NLCF_SCALING_INITIAL

Skalierung aus initialer Jakobimatrix. Diese Skalierung entspricht der adaptiven Skalierung. Allerdings werden die Parameter nur vor der ersten Iteration skaliert. (*)

Wenn das Argument nicht angegeben wird, wird es auf den Vorgabewert NLCF_SCALING_NONE gesetzt.

Scaling

Ist eine Datenreihe mit je einem positiven Skalierungsfaktor pro Parameter des Modells. Das Argument brauchen Sie nur anzugeben, wenn Sie benutzerdefinierte Skalierung gewählt haben.

Erlaubte Datenstrukturen sind Datenreihe. Es sind alle numerischen Datentypen erlaubt. Die Einheit des Arguments wird ignoriert.

Bei komplexen Datentypen erfolgt eine Betragsbildung.

OutputOptions

Gibt an, welche Ergebnisse zurückgegeben werden sollen. Mehrere Ergebnisse werden als Liste ausgegeben. Wenn Sie das Argument weglassen, werden alle möglichen Ergebnisse ausgegeben. Wenn z. B. die Korrelationsmatrix und die Kovarianzmatrix ausgegeben werden sollen, so muss das Argument den Wert NLCF_OUTPUT_CORRELATION + NLCF_OUTPUT_COVARIANCE enthalten. Die statistischen Ausgabeoptionen der Nicht-linearen Kurvenanpassung helfen, die Güte der Anpassung zu bestimmen.

(m = Anzahl der Datenpunkte, n = Anzahl der Parameter)

(*) Für die Berechnung dieser Statistikkenngrößen wird die Kovarianzmatrix verwendet. Die Berechnung der Kovarianzmatrix ist bei Verwendung des Full-Newton-Algorithmus nicht möglich, wenn Grenzen angegeben werden und eine Skalierung (alle außer NLCF_SCALING_NONE) verwendet wird.

Das Argument OutputOptions kann folgende Werte haben:

Konstante

Bedeutung

+ NLCF_OUTPUT_ALL

Alle verfügbaren Ausgaben.

+ NLCF_OUTPUT_AVERAGE_RESIDUAL

Mittleres Residual. Das Ergebnis ist ein 64-Bit Fließkommawert.

+ NLCF_OUTPUT_BASELINE

Grundlinie bei Modellen mit mehreren Peaks. Das Ergebnis ist eine Signalreihe mit jeweils m 64-Bit Fließkommawerten.

+ NLCF_OUTPUT_CONFIDENCE95

95 % Konfidenzstreifen. Das Ergebnis ist eine Datenreihe bzw. ein Signal mit m 64-Bit Fließkommawerten bzw. eine Liste bei mehreren abhängigen Variablen. (*)

+ NLCF_OUTPUT_CONFIDENCE99

99 % Konfidenzstreifen. Das Ergebnis ist eine Datenreihe bzw. ein Signal mit m 64-Bit Fließkommawerten bzw. eine Liste bei mehreren abhängigen Variablen. (*)

+ NLCF_OUTPUT_CONFIDENCE999

99,9 % Konfidenzstreifen. Das Ergebnis ist eine Datenreihe bzw. ein Signal mit m 64-Bit Fließkommawerten bzw. eine Liste bei mehreren abhängigen Variablen. (*)

+ NLCF_OUTPUT_CONFIDENCE95_PARA

95 % Konfidenzbereich der Parameter. Das Ergebnis ist eine Datenreihe mit n 64-Bit Fließkommawerten. (*)

+ NLCF_OUTPUT_CONFIDENCE99_PARA

99 % Konfidenzbereich der Parameter. Das Ergebnis ist eine Datenreihe mit n 64-Bit Fließkommawerten. (*)

+ NLCF_OUTPUT_CONFIDENCE999_PARA

99,9 % Konfidenzbereich der Parameter. Das Ergebnis ist eine Datenreihe mit n 64-Bit Fließkommawerten. (*)

+ NLCF_OUTPUT_CORRELATION

Korrelationsmatrix. Das Ergebnis ist eine n x n Matrix mit 64-Bit Fließkommawerten. (*)

+ NLCF_OUTPUT_COVARIANCE

Kovarianzmatrix. Das Ergebnis ist eine n x n Matrix mit 64-Bit Fließkommawerten. (*)

+ NLCF_OUTPUT_ERROR_VARIANCE

Fehler-Varianz. Das Ergebnis ist ein 64-Bit Fließkommawert.

+ NLCF_OUTPUT_ITERATIONS

Anzahl benötigter Iterationen. Das Ergebnis ist eine 32-Bit Ganzzahl.

+ NLCF_OUTPUT_PARAMERROR

Standardfehler der Parameter. Das Ergebnis ist eine Datenreihe mit n 64-Bit Fließkommawerten. (*)

+ NLCF_OUTPUT_PEAKS

Peakkurven bei Modellen mit mehreren Peaks. Das Ergebnis ist eine Signalreihe mit jeweils m 64-Bit Fließkommawerten.

+ NLCF_OUTPUT_PREDICTION95

95 % Prognosestreifen. Das Ergebnis ist eine Datenreihe bzw. ein Signal mit m 64-Bit Fließkommawerten bzw. eine Liste bei mehreren abhängigen Variablen. (*)

+ NLCF_OUTPUT_PREDICTION99

99 % Prognosestreifen. Das Ergebnis ist eine Datenreihe bzw. ein Signal mit m 64-Bit Fließkommawerten bzw. eine Liste bei mehreren abhängigen Variablen. (*)

+ NLCF_OUTPUT_PREDICTION999

99,9 % Prognosestreifen. Das Ergebnis ist eine Datenreihe bzw. ein Signal mit m 64-Bit Fließkommawerten bzw. eine Liste bei mehreren abhängigen Variablen. (*)

+ NLCF_OUTPUT_PREDICTED_VALUES

Die modellierten Daten. Das Ergebnis ist eine Datenreihe bzw. ein Signal mit m 64-Bit Fließkommawerten bzw. eine Liste bei mehreren abhängigen Variablen.

+ NLCF_OUTPUT_R2

Bestimmtheitsmaß R2. Das Ergebnis ist ein 64-Bit Fließkommawert.

+ NLCF_OUTPUT_RA2

Adjustiertes Bestimmtheitsmaß Ra2. Das Ergebnis ist ein 64-Bit Fließkommawert.

+ NLCF_OUTPUT_RESIDUAL

Residuen. Das Ergebnis eine Datenreihe bzw. ein Signal mit m 64-Bit Fließkommawerten bzw. eine Liste bei mehreren abhängigen Variablen.

+ NLCF_OUTPUT_RESIDUAL_SUM

Summe der Residuen. Das Ergebnis ist ein 64-Bit-Fließkommawert.

+ NLCF_OUTPUT_SOLUTION

Die gefundenen Parameter. Das Ergebnis ist eine Datenreihe mit n 64-Bit Fließkommawerten.

+ NLCF_OUTPUT_SSE

Absolute Quadratsumme der Residuen. Das Ergebnis ist ein 64-Bit Fließkommawert.

+ NLCF_OUTPUT_SSER

Relative Quadratsumme der Residuen. Das Ergebnis ist ein 64-Bit Fließkommawert.

+ NLCF_OUTPUT_SSR

Regressionsquadratsumme. Das Ergebnis ist ein 64-Bit Fließkommawert.

+ NLCF_OUTPUT_SST

Quadratsumme gesamt. Das Ergebnis ist ein 64-Bit Fließkommawert.

+ NLCF_OUTPUT_STATUS

Statusausgabe des Algorithmus. Das Ergebnis ist eine 32-Bit Ganzzahl.

Wenn das Argument nicht angegeben wird, wird es auf den Vorgabewert NLCF_OUTPUT_PREDICTED_VALUES gesetzt.

Settings

Ist eine Liste, die die Einstellungen für den verwendeten Algorithmus verändert.

Das Argument kann folgende benannte Elemente haben:

Konstante

Bedeutung

<MaximumNumberOfFunctionCalls>

Maximal zulässige Anzahl der Funktionsaufrufe bei der Berechnung. Die Vorgabe ist 100.

<XTolerance>

X-Konvergenz-Toleranz. Die Vorgabe ist 10-8.

<YTolerance>

Relative Funktions-Konvergenz-Toleranz. Die Vorgabe ist 10-8.

<FTolerance>**

Absolute Funktions-Konvergenz-Toleranz. Die Vorgabe ist 10-15.

<GTolerance>*

Toleranz für den Kosinus des Winkels zwischen den Spalten der aktuellen Jakobimatrix und dem entsprechenden Residuenvektor. Die Vorgabe ist 10-8.

<StepBound>

Schrittgrenze. Die Vorgabe ist 100.

* nur bei Levenberg-Marquardt-Algorithmus

** nur bei Full-Newton-Algorithmus

Die Werte werden als Liste übergeben, z. B.:

[< MaximumNumberOfFunctionCalls > 100, <XTolerance> 1e-015, <YTolerance> 1e-015, <FTolerance> 1e-015, <StepBound> 1e+002]

Erlaubte Datenstrukturen sind Liste. Es sind alle numerischen Datentypen erlaubt. Die Einheit des Arguments wird ignoriert.

Algorithm

Gibt an, welcher Algorithmus verwendet werden soll.

Das Argument Algorithm kann folgende Werte haben:

Konstante

Bedeutung

NLCF_ALGORITHM_FULLNEWTON

Full Newton algorithm. (NL2SOL)

NLCF_ALGORITHM_LEVENBERGMARQUARDT

Levenberg-Marquardt-Algorithmus. (MINPACK)

Wenn das Argument nicht angegeben wird, wird es auf den Vorgabewert NLCF_ALGORITHM_FULLNEWTON gesetzt.

OptionalParameters

Ist eine Liste, die dem Modell übergeben werden kann.

Das Argument kann folgende benannte Elemente haben:

Konstante

Bedeutung

<NumberOfPeaks>

Anzahl der Peaks des zu berechnenden Modells. Diese Option ist nur bei Peak-Modellen relevant.

<Baseline>

Gibt an, welches Modell für die Grundlinie verwendet werden soll. Die Vorgabe ist NLCF_BASELINE_NONE. Diese Option ist nur bei Peak-Modellen relevant. Das gewählte Modell wird zum Peak-Modell hinzugefügt.Das Argument kann folgende Werte haben:

Konstante

Modell

NLCF_BASELINE_NONE

kein Modell

NLCF_BASELINE_CONSTANT

A

NLCF_BASELINE_LINE

A+Bx

NLCF_BASELINE_QUADRATIC

A+Bx+Cx2

NLCF_BASELINE_CUBIC

A+Bx+Cx2+Dx3

NLCF_BASELINE_POLY4

A+Bx+Cx2+Dx3+Ex4

NLCF_BASELINE_POLY5

A+Bx+Cx2+Dx3+Ex4+Fx5

<FixedParameters>

Ist eine Datenreihe mit Wahrheitswerten, die angeben, ob ein Parameter veränderbar ist oder nicht. Die Anzahl der Werte entspricht der Parameteranzahl des Modells multipliziert mit der Peak-Anzahl. TRUE bedeutet fest, FALSE variabel.

<SharedParameters>

Ist eine Datenreihe mit Wahrheitswerten, die angeben, ob ein Parameter bei einem Peak-Modell mit mehreren Peaks gemeinsam genutzt werden soll. Diese Option ist nur bei mehreren Peaks relevant. TRUE bedeutet gemeinsam nutzen. Die Anzahl entspricht der Anzahl der Parameter des Modells.

<AuxData>

Sind beliebige Daten, die dem benutzerdefnierten Modell optional als Argument 'd' übergeben werden können.

Die Werte werden als Liste übergeben. Beispiel für ein Modell mit 3 Parametern und 2 Peaks:

[<NumberOfPeaks>2, <FixedParameters>{FALSE, TRUE, FALSE, FALSE, FALSE, FALSE}, <SharedParameters>{FALSE, FALSE, FALSE}]

Erlaubte Datenstrukturen sind Liste. Es sind alle Datentypen erlaubt. Die Einheit des Arguments wird ignoriert.

Anmerkungen

Die Statusausgabe beschreibt den Grund für den Abbruch einer Berechnung. Es wird zwischen zwei Gruppen unterschieden. Der Algorithmus wird erfolgreich beendet, wenn bestimmte Konvergenzkriterien erfüllt sind. Ist dies nicht der Fall, so bricht der Algorithmus aufgrund von Abbruchkriterien die Berechnung ab. Das Ergebnis der Funktion ist dann ausschließlich die Statusausgabe.

Konvergenzkriterien:

Konstante

Bedeutung

0

X-Konvergenz.

1

Relative Funktionskonvergenz.

2

Absolute Funktionskonvergenz.

3

X-Konvergenz und relative Funktionskonvergenz.

4

Toleranz für den Kosinus des Winkels zwischen den Spalten der aktuellen Jakobimatrix und dem entsprechenden Residuenvektor.

Abbruchkriterien:

Konstante

Bedeutung

5

Singuläre Konvergenz.

6

Falsche Konvergenz.

7

Maximale Anzahl Iterationen erreicht.

8

Falsche Startwerte.

9

Gradient kann nicht berechnet werden.

10

Manueller Abbruch der Berechnung.

11

Interner Fehler des Algorithmus.

12

Maximale Anzahl der Funktionsaufrufe erreicht.

Auf die Ergebnisse kann mit folgenden Listenelementnamen zugegriffen werden:

Konstante

Bedeutung

.["AverageResidual"]

Mittleres Residual.

.["Baseline"]

Grundlinie bei Modellen mit mehreren Peaks.

.["Confidence95"]

95 % Konfidenzstreifen.

.["Confidence99"]

99 % Konfidenzstreifen.

.["Confidence999"]

99,9 % Konfidenzstreifen.

.["ConfidenceParameter95"]

95 % Konfidenzbereich der Parameter.

.["ConfidenceParameter99"]

99 % Konfidenzbereich der Parameter.

.["ConfidenceParameter999"]

99,9 % Konfidenzbereich der Parameter.

.["Correlation"]

Korrelationsmatrix.

.["Covariance"]

Kovarianzmatrix.

.["ErrorVariance"]

Fehler-Varianz.

.["Iterations"]

Anzahl benötigter Iterationen.

.["ParameterError"]

Standardfehler der Parameter.

.["Peaks"]

Peakkurven bei Modellen mit mehreren Peaks.

.["Prediction95"]

95 % Prognosestreifen.

.["Prediction99"]

99 % Prognosestreifen.

.["Prediction999"]

99,9 % Prognosestreifen.

.["PredictedValues"]

Die modellierten Daten.

.["R2"]

Bestimmtheitsmaß R2.

.["Ra2"]

Adjustiertes Bestimmtheitsmaß Ra2.

.["Residual"]

Residuen.

.["ResidualSum"]

Summe der Residuen.

.["Solution"]

Die gefundenen Parameter.

.["SSE"]

Absolute Quadratsumme der Residuen.

.["SSER"]

Relative Quadratsumme der Residuen.

.["SSR"]

Regressionsquadratsumme.

.["SST"]

Quadratsumme gesamt.

.["Status"]

Statusausgabe des Algorithmus.

Sie können auch die Syntax Formel.Elementname verwenden. Dann müssen Sie allerdings beachten, dass die Eigenschaften der Formel, auf die auf gleiche Weise zugegriffen werden kann, Vorrang vor gleichnamigen Listenelementen haben. Dies trifft z. B. auf das Element R2 zu.

Verfügbarkeit

FlexPro Standard, Professional, Developer Suite

Beispiele

 
Dim list = NonLinCurveFit(MODEL_EXP_EXPONENTIAL_DECAY2, Ag, {13.33,980.56,33.92,133.80,188.28}, , _
NLCF_WEIGHTING_DATA, , NLCF_SCALING_NONE, , NLCF_OUTPUT_ALL, _
[ 100, _
 1e-008, _
 1e-008, _
 1e-015, _
 1e+002], _
NLCF_ALGORITHM_FULLNEWTON, _
[1, _
NLCF_BASELINE_NONE , _
{FALSE,FALSE,FALSE,FALSE,FALSE}, _
{FALSE,FALSE,FALSE,FALSE,FALSE}])
 

Approximiert das Signal 'Ag' mit dem Modell Abklingende Exponentialfunktion (Variante 2). Das Ergebnis der Berechnung ist eine Liste mit allen verfügbaren Ausgaben. Dies ist ein Beispiel aus dem Tutorial Nicht-lineare Kurvenanpassung.

list.["PredictedValues"]

Ergibt die modellierten Daten.

NonLinCurveFit(MODEL_EXP_EXPONENTIAL_DECAY2, Ag, {13.33,980.56,33.92,133.80,188.28})

Ergibt ebenfalls die modellierten Daten. Dies ist ein vereinfachter Funktionsaufruf des obigen Beispiels, bei dem die Vorgabewerte verwendet werden.

 
NonLinCurveFit("Dim a = p[0]\r\n _
Dim b = p[1]\r\n _
Dim c = p[2]\r\n _
a + b * x + c * x^2", _
Data, {1,1,0,0}, , , , , , , [ 300])

Approximiert den Datensatz 'Data' mit dem benutzerdefinierten Modell a + b * x + c * x2. Es sind maximal 300 Iterationen zulässig.

 
NonLinCurveFit("Dim a = p[0]\r\n _
Dim b = p[1]\r\n _
Dim s1 = d.[0]\r\n _
Dim s2 = d.[1]\r\n _
a * s1 + b * s2", _
Data, {1,1}, , , , , , , [ 300], , [ [Series1, Series2] ])
 

Approximiert den Datensatz 'Data' mit dem benutzerdefinierten Modell a * Series1 + b * Series2. Die beiden Datenreihen 'Series1' und 'Series2' werden als Liste mit zwei Elementen übergeben.

Siehe auch

ParameterEstimation-Funktion

NonLinModel-Funktion

Analyseobjekt Nicht-lineare Kurvenanpassung

Tutorial Nicht-lineare Kurvenanpassung

Statistische Ausgabeoptionen der Nicht-linearen Kurvenanpassung

Nicht-lineare Modelle

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