Führt eine Kurvenanpassung mit Hilfe der zweiparametrischen Weibull-Verteilung durch (Lebensdaueranalyse).
Syntax
WeibullFit(Sample, [ NumberOfRightCensoredValues = 0 ], [ Algorithm = WEIBULLFIT_ALGORITHM_LSE ], [ MLECorrectionFactor = TRUE ], [ MLEMaximumNumberOfIterations = 500n ] [ , MLETolerance = 1e-6 ])
Die Syntax der WeibullFit-Funktion besteht aus folgenden Teilen:
Teil |
Beschreibung |
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Sample |
Die Stichprobe, von welcher eine Lebensdaueranalyse mittels Kurvenanpassung durch die zweiparametrische Weibull-Verteilung durchgeführt werden soll. Die Stichprobe besteht ausschließlich aus den ausgefallenen Objekten mit entsprechenden Ausfallzeiten in der Y-Komponente des Datensatzes. Erlaubte Datenstrukturen sind Datenreihe und Signal. Es sind alle reellen Datentypen erlaubt. Ist das Argument eine Liste, dann wird die Funktion für jedes Element der Liste ausgeführt und das Ergebnis ist ebenfalls eine Liste. |
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NumberOfRightCensoredValues |
Anzahl der Versuchsobjekte, die bis zum Ende der Messung noch nicht ausgefallen sind (und insbesondere also nicht in der Stichprobe enthalten sind). Erlaubte Datenstrukturen sind Einzelwert. Unterstützte Datentypen sind 16-Bit Ganzzahl, 32-Bit Ganzzahl und 64-Bit Ganzzahl. Der Wert muss größer gleich 0 sein. Ist das Argument eine Liste, dann wird die Funktion für jedes Element der Liste ausgeführt und das Ergebnis ist ebenfalls eine Liste. Wenn das Argument nicht angegeben wird, wird es auf den Vorgabewert 0 gesetzt. |
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Algorithm |
Gibt an, welcher Algorithmus zur Kurvenanpassung durch die zweiparametrische Weibull-Verteilung verwendet werden soll. Das Argument Algorithm kann folgende Werte haben:
Ist das Argument eine Liste, dann wird deren erstes Element entnommen. Ist dies wieder eine Liste, dann wird der Vorgang wiederholt. Wenn das Argument nicht angegeben wird, wird es auf den Vorgabewert WEIBULLFIT_ALGORITHM_LSE gesetzt. |
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MLECorrectionFactor |
Gibt an, ob im Falle der Maximum-Likelihood-Kurvenanpassung ein Korrekturfaktor berücksichtigt werden soll. Hintergrund: Ein Nachteil der Maximum-Likelihood-Parameterschätzung ist deren Verzerrung (Bias) bei kleinem Stichprobenumfang. Zur Korrektur dieses Nachteils können entsprechende Korrekturfaktoren (abhängig von der Stichprobengröße) berücksichtigt werden. Das Argument wird also nur dann verwendet, wenn als Algorithmus die Maximum-Likelihood-Parameterschätzung ausgewählt wurde. Erlaubte Datenstrukturen sind Einzelwert. Unterstützte Datentypen sind Wahrheitswert. Ist das Argument eine Liste, dann wird deren erstes Element entnommen. Ist dies wieder eine Liste, dann wird der Vorgang wiederholt. Wenn das Argument nicht angegeben wird, wird es auf den Vorgabewert TRUE gesetzt. |
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MLEMaximumNumberOfIterations |
Die Maximum-Likelihood-Kurvenanpassung der zweiparametrischen Weibull-Verteilung wird numerisch durch Nullstellensuche gelöst. Letztere ist hierbei mittels Fixpunktiteration implementiert. Das Argument gibt die maximale Anzahl der durchzuführenden Iterationen an. Das Argument wird also nur dann verwendet, wenn als Algorithmus die Maximum-Likelihood-Parameterschätzung ausgewählt wurde. Erlaubte Datenstrukturen sind Einzelwert. Unterstützte Datentypen sind 16-Bit Ganzzahl, 32-Bit Ganzzahl und 64-Bit Ganzzahl. Der Wert muss größer gleich 1 sein. Ist das Argument eine Liste, dann wird deren erstes Element entnommen. Ist dies wieder eine Liste, dann wird der Vorgang wiederholt. Wenn das Argument nicht angegeben wird, wird es auf den Vorgabewert 500n gesetzt. |
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MLETolerance |
Die Fixpunktiteration zur Parameterbestimmung der Maximum-Likelihood-Kurvenanpassung wird beendet, wenn die relative Wertänderung kleiner als das angegebene Delta ist. Das Argument wird also nur dann verwendet, wenn als Algorithmus die Maximum-Likelihood-Parameterschätzung ausgewählt wurde. Erlaubte Datenstrukturen sind Einzelwert. Unterstützte Datentypen sind 64-Bit Fließkomma. Ist das Argument eine Liste, dann wird deren erstes Element entnommen. Ist dies wieder eine Liste, dann wird der Vorgang wiederholt. Wenn das Argument nicht angegeben wird, wird es auf den Vorgabewert 1e-6 gesetzt. |
Anmerkungen
Als Ergebnis der Kurvenanpassung werden die gefitteten Parameter α und β der zweiparametrischen Weibull-Verteilung als Liste ausgegeben. Die stetige Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) und Verteilungsfunktion F(x) der Weibull-Verteilung mit den Parametern α und β (Formparameter) sind hierbei gegeben durch:
Anmerkung: in der Literatur wird statt dem Parameter α häufig auch alternativ die charakteristische Lebensdauer T verwendet (und β mit k bezeichnet). Es gilt hierbei die folgende Relation:
Auf die Ergebnisse der Liste (d.h. auf die gefundenen Parameter der Kurvenanpassung) kann mit Hilfe folgender Syntax zugegriffen werden: result.alpha bzw. result.beta. Mit Hilfe der Distribution-Funktion kann dann anschließend die Verteilung (oder ein Survival-Plot) der gefitteten Weibull-Verteilung ausgegeben werden (Lebensdauerverteilung).
Die Algorithmen zur Weibull-Kurvenanpassung können schematisch wie folgt beschrieben werden:
Least-Squares Algorithmus
Trägt man die Verteilung einer Weibull-verteilten Zufallsvariablen in der Form log(log(1/(1-F(x)))) = β*log(x) + log(α) in einem doppelt logarithmischen Diagramm auf (Weibullnetz), so ergibt sich eine Gerade mit Steigung β und y-Achsenabschnitt log(α). Exakt dieses Prinzip wird nun zur Least-Squares-Weibull-Kurvenanpassung verwendet. Als Schätzer für die Verteilung der Stichprobe dient die empirische Verteilungsfunktion F_emp (mit Hazens Formel als Berechnungsmodus gemäß der EmpiricalDistribution-Funktion). Anschließend werden die Steigung und y-Achsenabschnitt von log(log(1/(1-F_emp))) mittels linearer Regressionsrechnung bestimmt. Dies liefert schließlich Schätzer für die Parameter β und log(α), und damit auch für α.
Details sind zu finden in [1, Kapitel 13, Abschnitt 3.2.1] oder [2, Kapitel 5, Abschnitt 5.1.2.2].
Maximum-Likelihood Algorithmus
Dieser Algorithmus basiert auf dem gewöhnlichen Maximum-Likelihood-Prinzip, wonach (vereinfacht ausgedrückt) diejenigen Parameter α und β als Schätzung ausgewählt werden, gemäß deren Verteilung die Realisierung der beobachteten Daten am plausibelsten erscheint. Dies kann mathematisch äquivalent in Form eines Maximierungsproblems formuliert werden, wonach die Parameter so zu wählen sind, dass die sogenannte Log-Likelihood-Funktion maximal wird. Extremalstellen der Log-Likelihood-Funktion entsprechen wiederum Nullstellen der Ableitung der Log-Likelihood-Funktion nach den Parametern α und β. Die letztgenannte Nullstellenbestimmung besitzt im vorliegenden Fall der zweiparametrischen Weibull-Verteilung keine analytisch geschlossene Lösung, kann aber mittels numerischer Gleichungslöser iterativ bestimmt werden. Hierbei wird als numerischer Gleichungslöser eine Fixpunktiteration verwendet. Die Fixpunktiteration wird beendet, wenn die relative Wertänderung der Parameter kleiner als das angegebene Delta ist (siehe Argument MLETolerance). Die maximale Anzahl an Iterationen ist hierbei durch das Argument MLEMaximumNumberOfIterations festgelegt. Falls die maximale Anzahl an Iterationen erreicht wurde und die relative Wertänderung den angegebenen Toleranzwert noch nicht unterschritten hat, so liegt keine Konvergenz des Algorithmus vor und es wird eine entsprechende Fehlermeldung ausgegeben.
Ein Nachteil der Maximum-Likelihood-Parameterschätzung ist deren Verzerrung (Bias) bei kleinem Stichprobenumfang. Zur Korrektur dieses Nachteils können entsprechende Korrekturfaktoren (abhängig von der Stichprobengröße) berücksichtigt werden (siehe Argument MLECorrectionFactor).
Alle Details sind zu finden in [2, Kapitel 5, Abschnitt 5.1.2.3] sowie [3].
Verfügbarkeit
Option Statistik
Beispiele
WeibullFit(Sample)
Führt eine Least-Squares-Kurvenanpassung mit Hilfe der zweiparametrischen Weibull-Verteilung einer Stichprobe durch und liefert die gefundenen Parameter α und β als Liste. Die Stichprobe enthält ausschließlich die ausgefallenen Objekte mit entsprechenden Ausfallzeiten in der Y-Komponente.
Dim p = WeibullFit(Sample)
Dim x = Series(0, 5*Maximum(Sample), 0.1)
Signal(Distribution(x, DISTRIBUTION_WEIBULL, p.alpha, p.beta), x)
Führt eine Weibull-Kurvenanpassung einer Stichprobe durch und berechnet die gefittete Weibull-Verteilung (Lebensdauerverteilung) im Intervall [0, 5*Maximum(Sample)].
Dim p = WeibullFit(Sample)
Dim x = Series(0, 5*Maximum(Sample), 0.1)
Signal(1 - Distribution(x, DISTRIBUTION_WEIBULL, p.alpha, p.beta), x)
Führt eine Weibull-Kurvenanpassung einer Stichprobe durch und berechnet den resultierenden Survival-Plot im Intervall [0, 5*Maximum(Sample)].
WeibullFit(Sample, 7)
Als Erweiterung zum ersten Beispiel wird die Stichprobe nun um 7 weitere Einheiten ergänzt, die bis zum Ende der Messung noch nicht ausgefallen sind. Die Lebensdauer dieser zusätzlichen 7 Prüflinge ist also größer als das Maximum aller Ausfallzeiten in der Y-Komponente der Stichprobe.
WeibullFit(Sample, , WEIBULLFIT_ALGORITHM_MLE)
Führt eine Maximum-Likelihood-Kurvenanpassung mit Hilfe der zweiparametrischen Weibull-Verteilung einer Stichprobe durch und liefert die gefundenen Parameter α und β als Liste. Die Stichprobe enthält ausschließlich die ausgefallenen Objekte mit entsprechenden Ausfallzeiten in der Y-Komponente.
Siehe auch
EmpiricalDistribution-Funktion
Literatur
[1] Hartung, Joachim: Statistik, 9. Auflage. Oldenbourg Verlag GmbH, München, 1993. ISBN 3-486-22055-1.
[2] Wilker, Holger: Weibull-Statistik in der Praxis, 2. Auflage. Books on Demand GmbH, Norderstedt, 2010. ISBN 3-8391-6241-5.
[3] T. Kernane and Z. A. Raizah: Fixed point iteration for estimating the parameters of extreme value distributions. In: Communications in Statistics - Simulation and Computation, Taylor and Francis, Vol. 38, No. 10, Pages 2161-2170. Prentice Hall, 2009.